Сумма и произведение. Знак

Определения и обозначения

Знак числа показывает, является ли оно положительным или отрицательным: положительные числа больше нуля, отрицательные — меньше. Ноль не имеет ни положительного, ни отрицательного знака. Это различие помогает понять, в какую сторону от нуля расположено число на числовой прямой.

Знак суммы — это знак числа, которое получилось при сложении слагаемых. Если слагаемые имеют одинаковый знак, знак результата такой же; при разных знаках его выбирают по модулю слагаемых. Это позволяет заранее определить направление результата, не выполняя всё вычисление.

Знак произведения — это знак результата умножения множителей. Он зависит от знаков множителей, а не от того, насколько велики их модули. Поэтому часто знак произведения можно узнать до перемножения числовых значений.

Правило знаков — способ определить знак произведения по знакам его множителей. Для двух чисел одного знака результат положительный, а для чисел разных знаков — отрицательный. Это правило удобно применять к длинным произведениям, считая отрицательные множители.

Как это устроено

На числовой прямой положительные числа находятся справа от нуля, а отрицательные — слева. При сложении двух положительных чисел мы движемся вправо сначала на одно расстояние, затем ещё на одно, поэтому результат остаётся справа от нуля. Для двух отрицательных движемся влево дважды, и результат оказывается слева от нуля. Так объясняется, почему сумма сохраняет общий знак слагаемых.

Если у слагаемых разные знаки, они задают движения в противоположных направлениях по числовой прямой. Например, движение вправо на 9 и влево на 5 взаимно сокращается на 5 единиц, а остаётся движение вправо на 4. Поэтому модули не складывают, а вычитают меньший из большего. Направление оставшегося движения задаёт знак слагаемого с большим модулем; равные расстояния полностью компенсируются, и сумма равна нулю.

Умножение можно понимать как повторное сложение, когда множитель натуральный. Например, 3 · (−2) — это три раза по −2, то есть −6; знак получается отрицательным. Если умножить отрицательное число на отрицательное, результат положительный: смена направления происходит дважды. Отсюда следует правило: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус.

При нескольких множителях знак меняется на противоположный при каждом умножении на отрицательное число. Две такие смены возвращают знак к плюсу, три оставляют минус, четыре снова дают плюс. Поэтому считают не сами отрицательные числа, а их количество: чётное количество смен сохраняет положительный знак, нечётное приводит к отрицательному. Это правило применимо, если среди множителей нет нуля.

Ноль при умножении обнуляет результат: для любого числа a верно a · 0 = 0. Поэтому в произведении с нулевым множителем итог равен нулю, даже если остальные множители положительные или отрицательные. Считать их знаки для определения результата уже не требуется.

Как определить знак суммы и произведения

Сначала выбери в таблице нужный вид действия, затем проверь условие: знаки слагаемых или множителей, а для разных знаков при сложении — ещё и модули. Для произведения нескольких чисел сначала проверь, нет ли нуля, и только потом считай отрицательные множители. Знак результата можно установить отдельно от его числового значения.

Разбор задач

Задача: определить знак суммы −7 + (−4), не вычисляя её значение. Здесь нужно обратить внимание только на знаки слагаемых: модулей и точного значения суммы для ответа не требуется. Оба числа отрицательные, значит, они расположены слева от нуля. Их сложение уводит ещё дальше влево.

1. Определяем знаки слагаемых: −7 и −4 оба отрицательные.
2. Применяем правило сложения чисел одного знака: сумма двух отрицательных чисел отрицательна.

Ответ: сумма отрицательная. Вычислять −7 + (−4) для определения знака не понадобилось. Такой порядок удобен, когда в условии просят только знак результата.

Задача: определить знак суммы −9 + 5 и найти её значение. Слагаемые имеют разные знаки, поэтому складывать 9 и 5 нельзя: сначала выясняем, какое число дальше от нуля. Модуль числа −9 равен 9, модуль числа 5 равен 5, а значит, действие числа −9 сильнее.

1. Сравниваем модули: |−9| = 9, |5| = 5; больше модуль числа −9.
2. Берём знак слагаемого с большим модулем: результат будет отрицательным.
3. Находим разность модулей: 9 − 5 = 4. Поскольку знак отрицательный, сумма равна −4.

Ответ: знак отрицательный, значение суммы −4. Проверка на числовой прямой даёт тот же результат: движение влево на 9 единиц и вправо на 5 оставляет движение влево на 4.

Задача: определить знак и вычислить произведение (−2) · 3 · (−5) · (−1). Сначала выясняем знак, чтобы отделить эту часть решения от вычисления величины. Среди множителей три отрицательных числа, а три — нечётное количество. Значит, произведение будет отрицательным.

1. Считаем отрицательные множители: −2, −5 и −1; их три.
2. Так как три — нечётное число, ставим знак минус.
3. Перемножаем модули: 2 · 3 · 5 · 1 = 30.
4. Соединяем модуль результата с найденным знаком: получаем −30.

Ответ: произведение отрицательное и равно −30. Здесь важно посчитать именно количество отрицательных множителей: их три, поэтому знак минус сохраняется.

Типичные ошибки

Ошибка: при сложении чисел разных знаков складывать их модули. Так делают по привычке, перенося правило для чисел одного знака, но противоположные направления на числовой прямой взаимно сокращаются. Нужно вычесть меньший модуль из большего. Проверь себя на примере −8 + 3: ответ должен быть −5, а не −11.

Ошибка: выбирать знак суммы по тому, какое из самих чисел кажется большим. При разных знаках нужно сравнивать модули — расстояния до нуля, а не числа на прямой как обычные величины. Иначе, например, в сумме −9 + 5 можно ошибочно выбрать плюс, потому что 5 больше −9. Запиши модули рядом: 9 больше 5, значит, сумма отрицательна.

Ошибка: при умножении чисел разных знаков ставить плюс. Правило для сложения здесь не подходит: произведение двух чисел с разными знаками отрицательно. Например, 4 · (−2) = −8, а не 8. Чтобы проверить себя, сначала назови знаки множителей и только затем выполняй умножение.

Ошибка: в длинном произведении заметить отрицательные множители, но не сосчитать их. Само наличие отрицательного числа не определяет знак: решает чётность их количества. Например, два отрицательных множителя дают плюс, а три — минус. Пересчитай отрицательные множители и проверь, делится ли их количество на 2 без остатка.

Связь с другими темами

Для работы с правилами сложения и умножения нужно знать, что такое сумма, произведение, противоположные числа и модуль числа. Противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны; их модули равны. Эти понятия помогают понять, почему при разных знаках сравнивают именно модули.

Определение знака суммы пригодится при сложении рациональных чисел — целых, дробей и других чисел, которые можно представить в виде дроби. Оно помогает также упрощать выражения, где слагаемые имеют разные знаки. В таких заданиях сначала устанавливают знак результата, а затем находят его значение.

Правило знаков используется не только при умножении, но и при делении рациональных чисел: знаки результата определяются так же. Оно также нужно при преобразовании алгебраических выражений с буквами и числами. Если определить знак заранее, легче проверить вычисления и заметить ошибку.

Что запомнить

• Сумма двух положительных чисел положительна.
• Сумма двух отрицательных чисел отрицательна.
• При сложении чисел разных знаков сравнивают их модули.
• Произведение двух чисел одного знака положительно.
• Произведение двух чисел разных знаков отрицательно.
• В произведении чётное число отрицательных множителей даёт плюс, нечётное — минус.
• Если среди множителей есть ноль, произведение равно нулю.