"Математика", Чекин А.Л.
Решение задачи одним выражением — это запись, которая объединяет все нужные вычисления и показывает, как данные условия связаны с искомой величиной. Такая запись помогает увидеть общий ход решения, а не только отдельные действия. Чтобы составить её правильно, нужно понять, что происходит в задаче, выбрать подходящие действия и при необходимости поставить скобки. Затем выражение вычисляют и проверяют, отвечает ли результат на вопрос.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись чисел и знаков действий, по которой можно найти значение. Например, в записи 18 + 7 − 5 числа соединены сложением и вычитанием. Понятие нужно, чтобы говорить не только об отдельных вычислениях, но и о записи, которую можно вычислить целиком.
Выражение решения задачи — одно выражение, которое объединяет вычисления, необходимые для ответа на вопрос задачи. Например, если к 18 карандашам добавили 7, а потом раздали 5, эти изменения можно записать как 18 + 7 − 5. Такая запись помогает связать вычисления с условием и искомой величиной.
Скобки — знаки, которые помогают показать, какое действие нужно выполнить раньше. Например, в выражении (3 · 24 − 18) : 3 скобки указывают, что сначала надо найти остаток яблок. Они нужны, чтобы запись сохраняла смысл задачи, когда обычных правил порядка действий недостаточно.
Порядок действий — правила, определяющие последовательность вычислений в выражении. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, после этого сложение и вычитание; действия одной ступени выполняют слева направо. Эти правила позволяют однозначно найти значение выражения.
Одно выражение полезно тем, что показывает не только последовательность вычислений, но и связь между ними. В записи по действиям промежуточный результат можно увидеть отдельно, а в выражении он включён в дальнейшие вычисления. Поэтому выражение читается как единая модель ситуации: каждая его часть участвует в получении ответа. Если связь между действиями не отражена, запись может дать число, не относящееся к вопросу задачи.
Чтобы определить нужные действия, сначала выясни, какие величины известны и что с ними происходит. Если количество увеличивается, обычно нужно сложение, если уменьшается — вычитание; одинаковые группы часто удобно объединить умножением или делением. Затем соотнеси результат каждого действия с вопросом: например, общий расход и стоимость одной покупки — разные величины. Выражение должно описывать именно путь от данных условия к искомому.
Промежуточный результат не обязательно записывать отдельной строкой: его можно оставить частью выражения. Например, стоимость трёх тетрадей находят умножением 3 · 12, а затем к ней прибавляют 25 рублей за альбом. Вместо двух отдельных вычислений записывают 3 · 12 + 25. При вычислении часть 3 · 12 всё равно становится промежуточным результатом, но отдельная запись для него не требуется.
Скобки нужны, если без них изменится задуманный порядок вычислений. В задаче про яблоки сначала нужно узнать, сколько осталось после раздачи, а уже потом разделить остаток на три коробки. Поэтому записывают (3 · 24 − 18) : 3: сначала умножение, затем вычитание внутри скобок, затем деление. Без скобок деление выполнилось бы раньше вычитания, и выражение описывало бы другой порядок действий.
Проверяй запись, читая её по частям и связывая каждую часть с условием. Убедись, что числа взяты из задачи, а действия соответствуют тому, что происходит с величинами. Затем выполни вычисления по правилам порядка действий и проверь единицы и смысл результата. Если полученное число отвечает не на тот вопрос, нужно пересмотреть выражение, а не только вычисления.
| Что сравниваем | Запись по действиям | Запись одним выражением |
|---|---|---|
| Как показаны промежуточные вычисления | Промежуточные результаты записаны отдельными строками. | Промежуточный результат входит в общую запись. |
| Как записан общий ход решения | Каждое действие показано отдельно и последовательно. | Все действия объединены в одну запись. |
| Как обозначен порядок действий | Порядок виден из последовательности строк. | Его задают правила вычислений и, если нужно, скобки. |
| Как получить ответ на вопрос задачи | Выполнить действия по очереди и взять результат последнего. | Найти значение выражения и проверить, что оно отвечает на вопрос. |
Чтобы пользоваться таблицей, выбери способ записи, который требуется в задаче, и проверь, какие сведения он делает наглядными. Запись по действиям удобна, когда нужно подробно показать промежуточные результаты. Одно выражение короче, но порядок действий в нём должен быть понятен по правилам и скобкам.
Задача 1. В коробке было 18 карандашей. Положили ещё 7, а затем 5 карандашей раздали. Сколько карандашей осталось? Сначала количество увеличилось, поэтому к первоначальным 18 нужно прибавить 7. Затем часть карандашей убрали, значит, из полученного количества нужно вычесть 5.
Ответ: 20 карандашей. Скобки не нужны, потому что сложение и вычитание выполняются слева направо, как происходили изменения.
Задача 2. Купили 3 тетради по 12 рублей и альбом за 25 рублей. Сколько всего заплатили? Сначала нужно определить стоимость тетрадей: цена одной тетради повторяется три раза, поэтому подходит умножение. Затем к этой стоимости прибавляется цена альбома, так как требуется общая сумма покупок.
Ответ: 61 рубль. Скобки здесь не нужны: умножение по правилам выполняется раньше сложения, поэтому сначала находится стоимость тетрадей.
Задача 3. В трёх одинаковых коробках было по 24 яблока. После того как 18 яблок раздали поровну, сколько яблок осталось в каждой коробке? Вопрос относится к одной коробке, но сначала нужно учесть яблоки во всех трёх. После раздачи надо разделить оставшееся количество поровну между коробками, а не делить только число 18.
Ответ: 18 яблок в каждой коробке. Скобки показывают, что делить нужно весь остаток, полученный после раздачи.
Иногда действия записывают в том порядке, в котором слова о них встретились в условии. Но текст не всегда сообщает события в форме, подходящей для готового выражения, а отдельные числа могут относиться к разным величинам. Чтобы проверить запись, перескажи, что означает каждый знак действия, и сравни этот смысл с условием задачи.
Другая ошибка — не поставить скобки, хотя сначала требуется найти сумму или разность. Тогда правила порядка действий могут заставить вычислять выражение иначе, чем требует задача. Перед вычислением проверь, какая величина должна получиться на промежуточном этапе, и заключи нужную часть в скобки.
Можно перепутать, к чему относится умножение или деление. Например, в задаче про коробки деление на число коробок относится ко всему количеству яблок после раздачи, а не только к последнему числу. Чтобы проверить себя, прочитай выражение словами и убедись, что действие выполняется с нужной величиной; при необходимости используй скобки.
Выражение может быть вычислено правильно, но не отвечать на вопрос задачи. Так бывает, если найдено общее количество вместо количества в одной группе или стоимость части покупок вместо всей суммы. Сверь результат с формулировкой вопроса и единицами измерения: ответ должен описывать именно искомую величину.
Чтобы составлять выражения для задач, нужно уметь выбирать арифметические действия по условию и находить значения числовых выражений. Также пригодятся правила порядка действий и умение использовать скобки: без них можно неверно передать последовательность вычислений. Запись решения одним выражением помогает работать с составными задачами, где искомый результат зависит от нескольких промежуточных величин. Этот навык пригодится и дальше, когда придётся составлять и вычислять более сложные выражения.
Зачем записывать решение задачи одним выражением?
Одно выражение показывает связь между всеми действиями, которые нужны для решения. По нему можно увидеть общий ход вычислений и получить ответ.
Как понять, какие действия нужно включить в выражение?
Разбери условие: определи, что известно, что происходит с величинами и что требуется найти. Затем выбери действия, которые передают эти изменения и приводят к искомой величине.
Когда в выражении нужны скобки?
Скобки ставят, когда часть вычислений нужно выполнить раньше, чем это следует из обычных правил порядка действий. Например, в выражении (3 · 24 − 18) : 3 сначала находят остаток яблок.
Как проверить, что порядок действий выбран верно?
Сопоставь каждое действие с этапом задачи и проверь, что скобки сохраняют нужную последовательность. Потом вычисли значение выражения и убедись, что оно относится именно к тому, о чём спрашивают.
Можно ли записать решение одним выражением, если в задаче несколько промежуточных результатов?
Да, промежуточные результаты можно включить в одно выражение. Если какой-то результат нужно получить раньше остальных, это показывают скобками или правилами порядка действий.
З Запись решения задачи в виде одного выражения
