Обозначение числа буквой и выражением

Определения и обозначения

Буквой можно обозначить неизвестное или произвольное число. Например, если количество карандашей в коробке пока не известно, его можно назвать a; это избавляет от необходимости придумывать значение заранее и позволяет составить запись для задачи.

Переменная — это буква, которая может принимать разные числовые значения. Так, в выражении a + 5 вместо a можно подставить 2, 10 или другое число; это обозначение удобно, когда нужно описать не один частный случай, а целую группу случаев.

Буквенное выражение состоит из чисел, букв и знаков арифметических действий. Например, 3a + 4 показывает, что число a нужно умножить на 3, а затем прибавить 4; такая запись коротко передаёт порядок действий над числом.

Значение выражения — число, которое получается после подстановки значений букв и выполнения вычислений. Если в 3a + 4 подставить a = 2, получится 3 · 2 + 4 = 10; значение выражения нужно, чтобы получить конкретный результат для выбранных чисел.

Как это устроено

Букву используют, когда число пока неизвестно или может быть любым. Благодаря этому можно начать рассуждение до того, как найден ответ: например, если в коробке a предметов, запись a + 5 описывает их количество после добавления пяти. Запись сохраняет смысл и тогда, когда исходное число станет известно позднее.

Внутри одной задачи буква сохраняет выбранное значение. Если ширину прямоугольника назвали b, то во всех дальнейших записях b означает именно эту ширину, а не другое число; иначе разные части решения относились бы к разным прямоугольникам. Если понадобилась другая величина, её обозначают другой буквой и объясняют, что она означает.

Выражение составляют, переводя условие в действия над числами и буквами. Например, если к числу a прибавили 5, записывают a + 5, а если число x увеличили в три раза — 3x. Такая запись обозначает число, которое получится при выполнении указанного действия, и помогает увидеть, как величины связаны между собой.

Чтобы найти значение буквенного выражения, сначала вместо каждой буквы записывают заданное число, затем вычисляют результат по правилам порядка действий. Например, при a = 6 выражение 3a + 4 превращается в 3 · 6 + 4: сначала выполняют умножение, потом сложение. Если вместо буквы подставляют отрицательное число, скобки помогают ясно показать, что именно заменяет букву.

Разные выражения иногда дают одно и то же число при определённых значениях букв. Например, при a = 2 выражения a + 3 и 2a + 1 оба равны 5, хотя устроены по-разному. Поэтому сравнивать результаты можно после подстановки конкретных значений, а совпадение при одном значении ещё не означает, что выражения всегда равны.

Обозначение чисел буквами и выражениями

В таблице собраны основные виды записей и способ получить конкретный результат. Сначала определите, какие числа и буквы входят в запись и что она обозначает, затем подставьте известные значения букв. После этого выполняйте действия в установленном порядке.

Разбор задач

Задача 1. Обозначить буквой число карандашей в коробке и записать, сколько карандашей станет после добавления 5. Решение: выберем букву a для исходного количества. Добавление пяти означает сложение, поэтому к a нужно прибавить 5; знать исходное число для составления записи не требуется.

1. Обозначим количество карандашей в коробке буквой a.
2. Запишем добавление пяти: a + 5.

Ответ: a + 5 карандашей.

Задача 2. Найти значение выражения 3a + 4 при a = 6. Решение: буква a обозначает число 6, поэтому заменим её на 6. Умножение выполняется раньше сложения, значит, сначала вычислим 3 · 6, а затем прибавим 4.

1. Подставим значение буквы: 3 · 6 + 4.
2. Выполним умножение: 18 + 4.
3. Сложим: 22.

Ответ: значение выражения равно 22.

Задача 3. Длина прямоугольника на 3 см больше ширины. Обозначить ширину буквой, составить выражение для периметра и найти его, если ширина равна 5 см. Решение: пусть ширина равна x см, тогда длина равна x + 3 см. Периметр — сумма длин всех сторон, то есть две ширины и две длины; поэтому его можно записать как 2x + 2(x + 3).

1. Обозначим ширину буквой x, а длину запишем как x + 3.
2. Составим выражение периметра: 2x + 2(x + 3).
3. Подставим x = 5: 2 · 5 + 2 · (5 + 3).
4. Вычислим: 10 + 16 = 26 см.

Ответ: выражение для периметра — 2x + 2(x + 3); при ширине 5 см периметр равен 26 см.

Типичные ошибки

Считать, что буква всегда обозначает неизвестное, — ошибка: буквой можно назвать и выбранное число, например сторону фигуры заданной длины. Такое заблуждение возникает, когда буквы встречаются только в задачах на поиск неизвестного. Проверь себя: спроси, дано ли значение буквы или оно может выбираться; оба случая допустимы.

При подстановке отрицательного числа иногда забывают скобки. Например, если a = −2, запись 3a превращается в 3 · (−2), а не в 3 · −2 без ясного обозначения замены; скобки помогают не спутать знак числа со знаком действия. Проверь себя, переписав выражение и заключив подставленное отрицательное число в скобки.

Некоторые выполняют действия не по правилам порядка: в выражении 3 · 6 + 4 сначала складывают 6 и 4. Так происходит, если читать запись слева направо, не учитывая приоритет действий. Проверь себя: сначала найди действия в скобках, затем умножение и деление, после этого сложение и вычитание.

Нельзя менять значение одной и той же буквы внутри задачи без объяснения. Если a сначала обозначает число карандашей в коробке, а затем внезапно длину, записи перестают быть однозначными; разные величины удобнее обозначать разными буквами. Проверь себя: выпиши, что означает каждая буква, и используй это значение во всех строках решения.

Связь с другими темами

Для работы с буквами нужны знания о натуральных числах, арифметических действиях, порядке действий и скобках: они помогают правильно вычислять полученные записи. Позже буквенные выражения пригодятся при составлении формул, решении уравнений и задач с величинами. Они готовят переход от вычисления конкретных примеров к записи общих правил и алгебраическим преобразованиям.

Что запомнить

• Буквой можно обозначить неизвестное или произвольное число.
• В одной задаче одна и та же буква обозначает одно и то же число.
• Выражение с буквами называется буквенным выражением.
• Чтобы найти значение буквенного выражения, в него подставляют значения букв.
• После подстановки действия выполняют по известным правилам порядка действий.
• Буквенные выражения позволяют записывать общие правила и зависимости.