Посредник

Определения и обозначения

Посредник — предмет, величина или мерка, с помощью которых сравнивают два объекта, если их нельзя или неудобно сопоставить напрямую. Например, полоска бумаги может помочь сравнить длины двух лент. Посредник нужен, чтобы перенести свойство одного объекта и сопоставить его со свойством другого.

Непосредственное сравнение — сравнение объектов прямым сопоставлением их размеров, количества или других свойств. Можно приложить две палочки концами друг к другу и увидеть, какая длиннее. Такой способ удобен, когда предметы доступны и их можно расположить рядом.

Опосредованное сравнение — установление отношения между объектами через общий посредник. Например, если сравнить каждую ленту с одной полоской бумаги, результаты помогут судить о длинах лент. Это понятие нужно, когда прямое сопоставление выполнить нельзя.

Общая мерка — одинаковая единица, которой измеряют сравниваемые величины. Если длину двух предметов измеряют одной и той же полоской, можно сравнить, сколько таких полосок помещается вдоль каждого. Общая мерка позволяет получать сопоставимые результаты, а не просто приблизительно оценивать величины.

Как это устроено

Третий объект нужен тогда, когда сравниваемые предметы нельзя расположить рядом или их свойства трудно перенести для прямого сопоставления. Так бывает, например, с водой в сосудах разной формы: переливать воду из одного сосуда в другой не всегда удобно. Посредник помогает превратить сложное сравнение в два более простых. При этом сравнивают не сами объекты, а одно и то же свойство каждого из них с выбранным посредником.

Выбирая посредник, сначала определяют, какое свойство требуется сравнить. Для длины подойдёт полоска или палочка, для объёма — одинаковый стакан, для массы — подходящая гиря или весы. Посредник должен быть доступен для сопоставления с обоими объектами и не менять своих свойств между сравнениями. Иначе один из результатов будет получен в иных условиях и вывод окажется ненадёжным.

Чтобы сделать вывод, устанавливают два отношения: первого объекта к посреднику и второго объекта к нему же. Если первый длиннее общей полоски, а второй короче неё, то первый длиннее второго: его длина больше длины посредника, тогда как длина второго меньше. Но если оба предмета длиннее полоски, одного этого факта недостаточно, чтобы узнать, какой из них длиннее. Нужны дополнительные сравнения или измерения.

Непосредственный способ удобен, когда объекты можно поставить рядом, приложить или пересчитать без промежуточных действий. Он обычно быстрее, потому что не нужно выбирать и отдельно применять мерку. Опосредованный способ выбирают, если прямое сравнение невозможно или неудобно: например, предметы находятся далеко друг от друга или имеют такую форму, что их нельзя приложить. Тогда появляется дополнительный этап, зато сравнение становится выполнимым.

Один и тот же посредник нужен потому, что результаты должны относиться к общей основе. Если измерять одну ленту короткой полоской, а другую длинной, число полосок не позволит честно сравнить длины. Например, две короткие мерки могут уложиться вдоль предмета столько же раз, сколько одна длинная, хотя сами мерки различаются. Поэтому посредник или общая мерка должны оставаться одинаковыми для обоих объектов.

Сравнение объектов непосредственно и через посредник

Сначала выберите строку, которая подходит к задаче: прямое сравнение, посредник или конкретный вид величины. Затем проверьте, одинаковы ли условия для обоих объектов и какие именно сопоставления выполнены. Таблица напоминает, что не всякие два результата с посредником позволяют сразу определить порядок величин.

Разбор задач

Задача 1. Две ленты нельзя приложить друг к другу. С помощью третьей полоски бумаги нужно определить, какая из них длиннее. Полоску можно перемещать и прикладывать к каждой ленте, не растягивая её. Она будет общим посредником для двух сравнений.

1. Сравним первую ленту с полоской: приложим полоску вдоль ленты от одного края и отметим, выступает ли лента за её конец.
2. Тем же способом сопоставим с полоской вторую ленту, не меняя длину самой полоски.
3. Сравним полученные результаты: если первая лента выступает дальше, а вторая не доходит до конца полоски, первая длиннее второй.

Если одна лента оказалась длиннее полоски, а другая короче, вывод однозначен. Если обе длиннее или обе короче полоски, этого сравнения недостаточно: полоску придётся использовать дальше или выбрать мерку подходящего размера. Ответ: длиннее та лента, которая при сравнении с одной и той же полоской имеет большую длину; конкретную ленту можно назвать после выполнения сопоставлений.

Задача 2. Длина первой палочки больше длины общей мерки, а длина второй палочки меньше этой же мерки. Нужно сравнить палочки. Здесь уже даны оба отношения, и важно не потерять направление каждого из них. Обозначим длины первой палочки, мерки и второй палочки словами, чтобы не спутать сравнения.

1. Первая палочка длиннее мерки, значит, её длина больше длины общей мерки.
2. Вторая палочка короче мерки, значит, её длина меньше длины той же мерки.
3. Первая длина расположена выше мерки, а вторая — ниже неё, поэтому первая палочка длиннее второй.

Вывод возможен именно потому, что обе палочки сравнивали с одной и той же меркой. Если бы первая была длиннее одной мерки, а вторая короче другой, сами результаты ещё не устанавливали бы отношения палочек. Ответ: первая палочка длиннее второй.

Задача 3. Три сосуда имеют разную форму. Нужно определить, в каком больше воды, переливая воду в одинаковые стаканы. Форма сосудов мешает сравнить объёмы на глаз, поэтому стакан становится общей меркой. Сравнивать нужно не высоту воды в сосудах, а число одинаковых стаканов.

1. Переливаем воду из первого сосуда в стаканы одинакового объёма и считаем, сколько полных стаканов получилось; остаток тоже отмечаем.
2. Повторяем измерение для второго и третьего сосудов, используя те же стаканы и одинаковый способ наполнения.
3. Сопоставляем результаты: больше воды в том сосуде, для которого получилось больше стаканов с учётом остатка.

Сравнение будет справедливым, если стаканы не меняются по объёму и вода не проливается. Если количество полных стаканов одинаковое, но есть остатки, нужно сопоставить остатки, например перелить их в одинаковые мерные ёмкости. Ответ: больше воды в сосуде, которому соответствует наибольшее измеренное количество воды; без результатов переливания назвать его нельзя.

Типичные ошибки

Использовать разные мерки для двух объектов — значит сравнивать результаты, полученные в разных единицах. Так поступают, если берут под рукой предметы разной длины и не замечают различия. Проверьте себя: спросите, остался ли посредник тем же самым во всех сравнениях; если нет, измерьте оба объекта одной меркой.

Делать вывод по одному сопоставлению недостаточно: сравнение первого объекта с посредником ничего само по себе не сообщает о втором. Ошибка возникает, когда посредник принимают за готовую точку отсчёта, не проверив оба объекта. Проверьте решение: в нём должны быть указаны оба отношения к общему посреднику.

Неверно рассуждать так: если первый объект больше посредника, то он больше любого второго объекта. Второй объект может быть ещё больше первого, ведь его отношение к посреднику пока неизвестно. Чтобы проверить направление вывода, запишите словами оба сравнения и убедитесь, что они действительно задают порядок: например, первый больше мерки, а второй меньше неё.

Не всякий третий предмет подходит на роль посредника: для сравнения длины нельзя взять предмет, который сопоставим только по массе, а не по длине. Такой выбор делают, потому что предмет кажется удобным, не уточняя, какое свойство нужно сравнить. Проверьте себя: подходит ли посредник к нужной величине и можно ли сопоставить его с каждым объектом одним и тем же способом.

Связь с другими темами

До изучения посредника нужно уметь прямо сравнивать предметы и понимать отношения «равно», «больше» и «меньше». Также пригодится представление о свойствах величин: длину сравнивают с длиной, объём — с объёмом. Эти знания помогают верно выбрать посредник и описать результат.

Позже идея общей мерки пригодится при измерении величин, сравнении чисел и решении задач на отношения. Измерение переводит свойство предмета в число одинаковых единиц, а числа уже можно сопоставлять. В повседневной жизни посредник используют, когда измеряют длину, массу или объём объектов, которые нельзя сравнить непосредственно.

Что запомнить

• Посредник помогает сравнить два объекта косвенно.
• Посредник должен быть сопоставим с каждым из сравниваемых объектов.
• Для корректного сравнения используют один и тот же посредник.
• По двум отношениям с общим посредником можно установить отношение исходных объектов.
• Общая мерка является специальным видом посредника.
• Непосредственное сравнение проще, но возможно не всегда.