Брус

Определения и обозначения

Брус — геометрическое тело, поверхность которого состоит из прямоугольников. Его можно представить как объёмную коробку, а не как плоскую фигуру. Это различие помогает понять, почему у бруса есть не только длина и ширина, но и высота.

Грань бруса — прямоугольник, который является частью его поверхности. У бруса шесть граней: каждая занимает отдельную сторону тела. Если мысленно обводить одну сторону бруса, получится его грань.

Ребро бруса — отрезок, по которому встречаются две грани. Всего у бруса двенадцать рёбер. Чтобы найти ребро, нужно посмотреть на границу между соседними прямоугольными гранями.

Вершина бруса — точка, в которой сходятся рёбра. У бруса восемь вершин. Они помогают определить углы тела и понять, где заканчиваются его рёбра.

Как это устроено

Представить брус можно, если взять прямоугольник и мысленно сдвинуть его в сторону, не меняя его форму. Появится не одна плоская фигура, а тело с глубиной: исходный прямоугольник и его смещённая копия будут соединены боковыми гранями. Так становится заметно, откуда у бруса берутся три измерения. Такой мысленный приём помогает отличить объёмную форму от рисунка на листе.

Противоположные грани бруса равны, потому что расстояние между ними и размеры соответствующих сторон одинаковы. Например, если верхняя грань имеет длину 8 см и ширину 4 см, нижняя грань имеет те же размеры. То же правило действует для двух пар боковых граней. Равенство относится к каждой паре напротив лежащих граней, а не обязательно ко всем граням сразу.

Размеры бруса называют длиной, шириной и высотой. Они задают три направления, вдоль которых измеряют его рёбра: например, длину — вдоль самого длинного ребра, ширину — поперёк, высоту — снизу вверх. Выбор названия зависит от того, как расположен предмет, поэтому полезно сначала определить, какой размер описывают. Три измерения вместе позволяют точно представить, насколько брус длинный, широкий и высокий.

На рисунке грань выглядит как целая область, ребро — как линия на границе областей, а вершина — как точка, где сходятся линии. Часть бруса может закрывать рёбра, расположенные сзади, поэтому их не видно с выбранной стороны. Чтобы показать такие рёбра, их часто проводят штрихами. При пересчёте нужно учитывать и сплошные, и штриховые линии, иначе количество окажется неполным.

Коробку или кирпич называют предметом, имеющим форму, близкую к брусу. У настоящих вещей могут быть закруглённые края, неровные поверхности или слегка скруглённые углы. Поэтому их форма не всегда совпадает с геометрической моделью идеально. Модель бруса всё равно удобна: она позволяет описать основные размеры и расположение сторон предмета.

Части бруса и его размеры

Пользуйся таблицей, чтобы проверить, какие части бруса нужно найти или пересчитать. Сначала различи грань, ребро и вершину по их виду, затем сверь количество. Если нужно описать размеры, назови длину, ширину и высоту.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображён брус. Найди и назови одну грань, одно ребро и одну вершину. Нужно различить части тела по их расположению, а не просто указать любые линии на рисунке.

1. Найди на рисунке целую прямоугольную область. Это грань, например верхняя грань бруса.
2. Посмотри на границу этой области, где она встречается с соседней гранью. Такой отрезок является ребром.
3. Найди конец ребра, в котором сходятся другие рёбра. Эта точка — вершина бруса.

Ответ: грань — верхний прямоугольник; ребро — его передняя граница; вершина — конец этого ребра, где сходятся соседние рёбра.

Задача 2. Сколько граней, рёбер и вершин у бруса? Проверь ответ, рассматривая рисунок или модель. На рисунке часть рёбер может быть закрыта, поэтому пересчитывать нужно внимательно.

1. Пересчитай прямоугольные стороны тела: получаются две противоположные грани сверху и снизу и четыре боковые грани.
2. Проследи рёбра по трём направлениям. В каждом направлении есть по четыре ребра, поэтому всего 4 + 4 + 4 = 12.
3. Найди точки, в которых сходятся рёбра. Удобно считать по углам модели, включая те, которые на рисунке находятся сзади.

Ответ: 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Если на рисунке не хватает видимых линий, проверь количество по модели или учти штриховые рёбра.

Задача 3. Коробка имеет форму бруса. Её длина 8 см, ширина 4 см, высота 3 см. Назови размеры коробки и укажи, какие грани у неё равны. Важно сопоставить два размера с каждой гранью.

1. Запиши три измерения: длина — 8 см, ширина — 4 см, высота — 3 см. Каждое измерение относится к рёбрам своего направления.
2. Грани с размерами 8 × 4 см расположены сверху и снизу. Они равны, потому что у них совпадают длина и ширина.
3. Оставшиеся пары имеют размеры 8 × 3 см и 4 × 3 см. В каждой паре грани противоположны и имеют одинаковые размеры.

Ответ: длина коробки — 8 см, ширина — 4 см, высота — 3 см. Равны пары граней 8 × 4 см, 8 × 3 см и 4 × 3 см.

Типичные ошибки

Грань называют ребром. Так бывает, когда не различают целую поверхность и её границу. Проверь себя: прямоугольная область — грань, а линия между двумя областями — ребро. Если названо место, которое можно закрасить, это не ребро.

Считают только видимые рёбра. На рисунке часть тела закрывает линии сзади, и их легко пропустить. Проверь подсчёт по модели или отдельно проследи рёбра в трёх направлениях. Штриховые линии тоже обозначают рёбра и должны учитываться.

Путают длину, ширину и высоту. Ошибка возникает, если называют измерения, не связывая их с направлениями рёбер. Чтобы проверить себя, укажи, вдоль каких рёбер измерен каждый размер. Затем сравни названные числа с данными о предмете.

Считают, что все грани одинаковы. У бруса могут быть грани разных размеров, хотя противоположные грани в каждой паре равны. Ошибку предотвращает сравнение длины и ширины каждой грани. Проверь, совпадают ли размеры именно у граней, расположенных напротив друг друга.

Связь с другими темами

Для изучения бруса нужно узнавать прямоугольник, а также различать отрезок и точку: эти понятия помогают назвать его части. Позже представление о гранях и размерах понадобится при изучении площади поверхности и объёма геометрических тел. Длина, ширина и высота полезны и в повседневной жизни: с их помощью описывают коробки, комнаты и другие предметы. Так геометрические знания помогают сравнивать формы и понимать размеры вещей.

Что запомнить

• Брус — объёмное тело.
• У бруса шесть граней.
• Грани бруса имеют форму прямоугольников.
• У бруса двенадцать рёбер и восемь вершин.
• Противоположные грани бруса равны.
• Размеры бруса называют длиной, шириной и высотой.