1.2. Вычисления с дробями

Определения и обозначения

Сложение и вычитание дробей — действия, при которых дроби приводят к общему знаменателю, а затем складывают или вычитают их числители. Например, 2/7 + 3/7 = 5/7: мы получили пять частей одного и того же размера. Правило нужно, чтобы правильно считать части целого, даже если сначала они записаны с разными знаменателями.

Умножение дробей — действие, при котором числители перемножают между собой, а знаменатели — между собой. Например, 2/3 · 1/4 = 2/12 = 1/6. Это правило помогает находить часть от другой части, а сокращение часто позволяет упростить вычисление ещё до умножения.

Деление дробей — замена деления умножением на дробь, обратную делителю. Так, 1/2 : 3/4 превращается в 1/2 · 4/3. Это удобно, потому что после замены можно воспользоваться знакомым правилом умножения дробей.

Взаимно обратные числа — два числа, произведение которых равно 1. Например, 3/5 и 5/3 взаимно обратны, ведь 3/5 · 5/3 = 1. Обратная дробь нужна при делении: числитель и знаменатель делителя меняют местами, чтобы заменить деление умножением.

Как это устроено

Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель — сколько таких частей взяли. Если размеры частей разные, их количества нельзя сразу сложить или вычесть: например, пятая и третья части не равны. Общий знаменатель позволяет выразить обе дроби частями одинакового размера. Тогда можно считать, сколько таких частей получилось всего или сколько осталось.

Если знаменатели уже одинаковые, части имеют одинаковый размер, поэтому достаточно изменить их количество. При сложении складывают числители, а при вычитании из числителя первой дроби вычитают числитель второй. Знаменатель сохраняют: разделение целого на равные части не меняется. Например, 4/9 − 1/9 = 3/9 = 1/3.

При умножении дробей количество частей и размер каждой части учитываются одновременно. Если взять 1/2 от 1/3 целого, получится 1/6: одно деление на три части и ещё одно деление пополам дают шесть одинаковых частей. Поэтому числители перемножают отдельно от знаменателей. Перед умножением полезно сокращать общий множитель числителя и знаменателя: произведения получатся меньше, а значение дроби не изменится.

Деление отвечает на вопрос, сколько раз одно число содержится в другом. Умножение на обратное число даёт тот же результат: например, в 1/2 четверть помещается два раза, и 1/2 : 1/4 = 1/2 · 4/1 = 2. Делитель не может быть нулём, потому что нельзя узнать, сколько раз ноль содержится в числе, а деление на ноль не определено. При замене деления обратную дробь составляют именно из делителя.

Смешанное число состоит из целой части и дробной, например 2 1/3. Для вычислений его часто превращают в неправильную дробь: целую часть умножают на знаменатель, прибавляют числитель и записывают результат над прежним знаменателем; получается 7/3. Целые числа тоже можно записывать дробями со знаменателем 1. В длинном выражении сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, а потом сложение и вычитание.

Правила действий с дробями

Сначала найди строку, соответствующую действию, и проверь условие: например, общий ли знаменатель или не равен ли делитель нулю. Затем выполни действие по средней колонке. В конце посмотри, можно ли сократить дробь или выделить из неё целую часть.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить: 5/12 + 7/12 − 3/12. Знаменатели равны, поэтому приводить дроби к общему знаменателю не требуется. Действия сложения и вычитания выполняются слева направо. После вычисления проверим, можно ли сократить полученную дробь.

1. Складываем числители первых двух дробей: 5/12 + 7/12 = 12/12.
2. Вычитаем третью дробь: 12/12 − 3/12 = 9/12.
3. Сокращаем 9/12, разделив числитель и знаменатель на 3: получаем 3/4.

Ответ: 3/4. Целая часть не появилась, потому что числитель меньше знаменателя. Сокращение показывает, что результат можно записать проще, не меняя его значения.

Задача 2. Вычислить: 3/4 + 5/6 − 1/3. Здесь знаменатели разные, поэтому сначала выразим все дроби через одинаковые части. Наименьший общий знаменатель для 4, 6 и 3 — число 12. После приведения можно выполнить действия с числителями по порядку.

1. Приводим дроби к знаменателю 12: 3/4 = 9/12, 5/6 = 10/12, 1/3 = 4/12.
2. Складываем первые дроби: 9/12 + 10/12 = 19/12.
3. Вычитаем: 19/12 − 4/12 = 15/12.
4. Сокращаем 15/12 на 3 и получаем 5/4, или 1 1/4.

Ответ: 1 1/4. Проверка: 9/12 + 10/12 больше 1, а вычитание 4/12 оставляет результат больше 1. Поэтому неправильная дробь 5/4 и смешанное число 1 1/4 подходят друг другу.

Задача 3. Вычислить: 2 1/3 − (5/6 : 1 1/4) + 3/5 · 10/9. Сначала заменим смешанные числа неправильными дробями, а в скобках выполним деление. Затем отдельно найдём произведение, соблюдая порядок действий. Только после этого выполним вычитание и сложение слева направо.

1. Преобразуем смешанные числа: 2 1/3 = 7/3, 1 1/4 = 5/4.
2. В скобках деление заменяем умножением на обратную дробь: 5/6 : 5/4 = 5/6 · 4/5 = 2/3.
3. Выполняем умножение: 3/5 · 10/9 = 2/3. Здесь можно заранее сократить 3 и 9, а также 10 и 5.
4. Подставляем результаты и считаем: 7/3 − 2/3 + 2/3 = 7/3.
5. Выделяем целую часть: 7/3 = 2 1/3.

Ответ: 2 1/3. Деление и умножение были выполнены до действий между полученными дробями. В конце удобно проверить, что исходное число 2 1/3 осталось результатом: вычли 2/3 и прибавили столько же.

Типичные ошибки

Складывают знаменатели. Так происходит, когда правило сложения целых чисел переносят на дроби: например, ошибочно получают 2/5 + 1/5 = 3/10. Но знаменатель здесь уже показывает одинаковый размер частей, поэтому нужно складывать только числители. Проверь ответ: сумма двух пятых и одной пятой равна трём пятым, то есть 3/5.

При приведении к общему знаменателю меняют только знаменатель. Эту ошибку допускают, забывая, что числитель и знаменатель умножают на одно и то же число. Например, 1/3 = 2/6, а не 1/6. Проверить преобразование можно делением: исходная и новая дроби должны обозначать одно и то же число.

При делении переворачивают не ту дробь или обе дроби. Путаница возникает из-за того, что деление записано между двумя дробями. Обратной становится только дробь-делитель, то есть та, на которую делят: 2/3 : 4/5 = 2/3 · 5/4. Перед вычислением назови делимое и делитель вслух и проверь, что первая дробь осталась без изменений.

Забывают сократить ответ или неверно превращают смешанное число в неправильную дробь. При спешке часто сокращают только знаменатель либо не умножают целую часть на знаменатель. Для проверки перехода m a/b используй запись (m · b + a)/b: например, 2 1/3 = (2 · 3 + 1)/3 = 7/3. В конце проверь, есть ли у числителя и знаменателя общий делитель, и выдели целую часть, если числитель больше знаменателя.

Связь с другими темами

Для вычислений с дробями нужны основное свойство дроби, сокращение, признаки делимости и умение находить общий знаменатель: они помогают подготовить дроби к действию. Также важно помнить порядок действий и правила записи смешанных чисел. Позже вычисления с дробями пригодятся при решении уравнений и задач на движение, отношения, проценты и вероятность. В каждой такой задаче дроби помогают записывать части величин и сравнивать их.

Что запомнить

• Складывать и вычитать дроби можно после приведения к общему знаменателю.
• При одинаковых знаменателях складывают или вычитают только числители.
• При умножении дробей перемножают числители и знаменатели.
• Деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь.
• Перед умножением дробей полезно выполнить сокращение.
• Смешанное число сначала можно представить в виде неправильной дроби.
• В конце вычислений нужно проверить знак, сократить дробь и выделить целую часть.