"Математика", Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Круги Эйлера помогают наглядно решать задачи о группах объектов: например, о тех, кто занимается спортом или любит разные предметы. Каждый круг изображает множество, а его расположение показывает, есть ли у групп общие элементы. Разделив диаграмму на области, можно найти число объектов в каждой части, определить количество общих элементов или тех, кто входит хотя бы в одну группу. Главное — учитывать пересечение только один раз и проверять, что все области соответствуют условию.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Множество — совокупность предметов или объектов, объединённых общим признаком. Например, множество учеников, которые занимаются футболом, можно обозначить заглавной буквой A, а отдельный элемент — строчной буквой a; запись a ∈ A означает, что ученик a входит в множество A. Такое обозначение помогает коротко описывать группы в условии и сравнивать их.
Круг Эйлера — круговая схема, на которой множество изображают областью, а его элементы располагают внутри этой области. Если круг обозначен буквой B, то все точки или подписи внутри него относятся к множеству B. Схема нужна, чтобы увидеть связь между группами и не потерять ни одну часть задачи.
Пересечение множеств — элементы, которые одновременно принадлежат двум или нескольким множествам. На схеме это общая часть пересекающихся кругов: например, в неё попадают ученики, которые занимаются и футболом, и плаванием. Она нужна, когда требуется узнать, кто входит сразу в несколько групп.
Объединение множеств — все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств. На схеме это вся область, охваченная кругами, включая их общую часть. Объединение помогает ответить на вопрос, сколько объектов относится к первой группе, ко второй или сразу к обеим.
Сначала прочитай условие и выдели группы объектов по их признакам: например, ученики, которые любят математику, и ученики, которые любят информатику. Каждую группу обозначь отдельным кругом и подпиши, что она означает. Такой перевод условия в схему помогает отделить сами группы от чисел и увидеть, какие сведения нужно разместить внутри кругов.
Расположение кругов выбирают по смыслу условия, потому что оно показывает отношения между группами. Если каждый элемент одного множества входит в другое, меньший круг помещают внутри большего. Если у групп есть общие элементы, круги пересекают; если общих элементов нет, круги рисуют отдельно. Нельзя выбирать расположение только ради удобства: оно должно соответствовать данным задачи.
Отдельные слова в условии подсказывают, какую часть схемы рассматривать. «И» и «оба» обычно означают общую часть кругов, а «или» и «хотя бы один» — объединение, то есть всю область внутри кругов. Слово «только» указывает на часть одного круга за пределами пересечения, а выражение «не входят» может обозначать область вне выбранного множества. Эти подсказки нужно соотносить с вопросом задачи.
Когда схема нарисована, раздели её на области: только первая группа, общая часть и только вторая группа. Если рассматриваются все объекты, добавь область вне кругов для тех, кто не входит ни в одну группу. Записывай в областях только те числа, которые относятся именно к ним: так проще использовать известные данные, не смешивая общее количество группы и число объектов «только» в ней.
Неизвестные числа находят по известным областям и общему количеству. Например, если в группе 15 человек, из них 6 входят и в другую группу, то только в первой остаётся 15 − 6 = 9 человек. Проверка нужна потому, что схема должна учитывать всех рассматриваемых объектов: сложи числа в отдельных областях и сравни результат с общим количеством из условия.
| Ситуация | Расположение кругов | Смысл условия | Что можно находить |
|---|---|---|---|
| Одно множество входит в другое | Один круг находится внутри другого | Каждый элемент первого множества принадлежит второму | Число элементов внешней или внутренней области |
| Множества имеют общие элементы | Круги частично пересекаются | Некоторые объекты входят в оба множества | Число элементов пересечения и только одной группы |
| Множества не имеют общих элементов | Круги не пересекаются | Ни один объект не относится к обеим группам | Общее число объектов в объединении |
| Нужно найти объекты, относящиеся хотя бы к одной группе | Рассматривают всю область обоих кругов | Учитываются элементы первого множества, второго множества и их общая часть | Количество элементов объединения |
Сначала найди в таблице ситуацию, похожую на условие задачи, а затем проверь, какая область соответствует искомому числу. Если круги пересекаются, при подсчёте объединения общую часть нельзя прибавлять второй раз. Если требуется учесть всех объектов, отдельно проверь, нужно ли добавлять тех, кто не входит ни в один круг.
В классе 24 ученика: 15 занимаются футболом, 12 — плаванием, 7 занимаются обоими видами спорта. Нужно узнать, сколько учеников занимаются хотя бы одним из них. Нарисуем два пересекающихся круга: общая часть содержит 7 учеников, а вопрос относится ко всему объединению.
Проверка показывает, что число не превышает 24 учеников, а вопрос не требует включать тех, кто не занимается ни одним из этих видов спорта. Ответ: хотя бы одним видом спорта занимаются 20 учеников.
Из 30 шестиклассников 18 любят математику, 16 — информатику, а 5 не любят ни один из этих предметов. Требуется найти число тех, кто любит оба предмета. Сначала отделим от общего числа пятерых, стоящих вне обоих кругов, а затем используем численность каждой группы.
Все области дают исходное число шестиклассников. Ответ: оба предмета любят 9 учеников.
В кружках рисования и шахмат занимаются 28 детей. Рисованием увлекаются 17 детей, шахматами — 19, причём 4 ребёнка посещают только рисование. Нужно найти числа детей, которые ходят только на шахматы и в оба кружка. Разделим схему на три области, а затем восстановим недостающие части.
При этих числах задача не имеет решения, удовлетворяющего всем условиям. Действительно, количество посещающих хотя бы один кружок по данным о группах должно быть 17 + 19 − 13 = 23, а не 28. Ответ: в условии есть противоречие; только шахматами занимаются 6 детей, оба кружка посещают 13, но общее число 28 не подтверждается.
Первая ошибка — сложить количества двух групп и принять сумму за число разных объектов. Если некоторые ученики входят в обе группы, они при сложении учитываются дважды. Проверяй, указана ли общая часть: для объединения сложи численности групп и вычти пересечение один раз.
Вторая ошибка — перепутать слова «и» и «или», то есть пересечение и объединение. Это случается, когда ученик замечает названия групп, но не обращает внимания на вопрос задачи. Спроси себя: нужны объекты из обеих групп одновременно или достаточно принадлежать хотя бы одной? В первом случае ищи общую часть, во втором — все области кругов.
Третья ошибка — нарисовать круги, не сверившись с условием. Например, пересекающиеся круги показывают, что есть общие элементы, хотя в задаче сказано, что группы не имеют общих объектов. Перед вычислениями проверь смысл каждой связи: включение, наличие пересечения или его отсутствие.
Четвёртая ошибка — забыть об области «ни в одно множество» или включить её в объединение. Область вне кругов нужна, если условие рассматривает всех объектов, но эти объекты не принадлежат ни одной группе. Проверь, складываешь ли ты только области внутри кругов, когда ищешь объединение, и все области — когда проверяешь общее количество.
Для решения таких задач нужно уметь внимательно читать условие, выделять группы объектов и складывать или вычитать натуральные числа. Это связывает круги Эйлера с задачами на деление объектов на группы и нахождение части по целому: общая численность помогает восстановить неизвестные части. Позже подобные схемы пригодятся в комбинаторике и при изучении вероятности, когда важно учитывать несколько условий и их пересечение.
Когда круги Эйлера должны пересекаться?
Круги пересекаются, когда есть объекты, которые принадлежат обоим множествам. Например, если некоторые ученики занимаются и футболом, и плаванием, общая часть кругов показывает этих учеников.
Чем отличаются пересечение и объединение множеств?
Пересечение — это элементы, которые входят одновременно в оба множества. Объединение — все элементы, которые входят хотя бы в одно из них, в том числе общие.
Почему при сложении двух групп нужно вычитать общую часть?
Общие элементы уже посчитаны в каждой группе, поэтому при сложении они учитываются дважды. Чтобы получить число разных объектов, общую часть вычитают один раз.
Как показать на схеме объекты, которые не входят ни в одно множество?
Их изображают вне всех кругов, но внутри общей области, в которой рассматриваются объекты задачи. Эта область не входит в объединение множеств.
Что делать, если в задаче указано количество объектов только одной группы?
Сначала отметьте на диаграмме область «только эта группа» и запишите известное число. Затем используйте общее количество и другие данные условия, чтобы найти оставшиеся области.
10.3. Решение задач с помощью кругов Эйлера
