Деление на дробь

Определения и обозначения

Разделить одно число на другое — значит найти такое число, которое при умножении на делитель даст делимое. Например, запись a/b : c/d показывает, что дробь a/b делят на дробь c/d; делитель c/d не должен быть равен нулю. Ответ называют частным. Это действие помогает узнать, сколько раз одна величина содержится в другой.

Обратными называют дроби, произведение которых равно 1. Например, 3/5 и 5/3 обратны друг другу, потому что 3/5 · 5/3 = 1. Чтобы найти обратную дробь, числитель и знаменатель меняют местами. Это понятие нужно, чтобы заменить деление на дробь более знакомым умножением.

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю: a/b : c/d = a/b · d/c, если c/d ≠ 0. В записи важно различать делимое и делитель: обратной делают только дробь, на которую делят. Затем выполняют умножение и, если возможно, сокращают ответ. Это правило удобно применять и к дробям, и к другим числам, записанным в виде дробей.

Натуральное число можно записать как дробь со знаменателем 1: например, 4 = 4/1. Поэтому деление на натуральное число тоже можно выполнить по правилу деления на дробь: 4/1 : 3/1 = 4/1 · 1/3. Такая запись помогает не запоминать отдельное правило для каждого вида чисел. Она также показывает, что обратная дробь к натуральному числу n — это 1/n, если n ≠ 0.

Как это устроено

Сначала вспомним смысл деления на примере дробей с одинаковыми знаменателями. В выражении 3/4 : 1/4 нужно узнать, сколько раз одна четверть помещается в трёх четвертях. Ответ — 3, потому что 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4, или 3 · 1/4 = 3/4. Значит, деление отвечает на вопрос «сколько раз делитель содержится в делимом».

При делении на дробь удобно избавиться от её знаменателя. Частное не меняется, если делимое и делитель умножить на одно и то же число, отличное от нуля: например, 6 : 2 = 3 и 18 : 6 = 3. Для дробного делителя можно умножить оба числа на его знаменатель, чтобы делитель стал натуральным. Такое преобразование сохраняет отношение между числами и объясняет, почему результат деления можно получить другим способом.

Рассмотрим a/b : c/d. Если умножить делимое и делитель на d, делитель c/d превратится в c, а делимое станет a·d/(b·d). Тогда получим деление на натуральное число c, которое можно заменить умножением на 1/c. В итоге выходит a·d/(b·c), то есть произведение a/b · d/c. Дробь d/c и есть обратная к делителю c/d.

Порядок действий помогает избежать путаницы. Сначала замени знак деления знаком умножения, затем переверни только дробь-делитель и перемножь числители и знаменатели. В конце проверь, можно ли сократить получившуюся дробь. Например, 5/6 : 2/3 превращается в 5/6 · 3/2, а не в произведение двух перевёрнутых дробей.

Если делимое или делитель — натуральное число, запиши его дробью со знаменателем 1. Например, 2 : 3/5 = 2/1 · 5/3. Смешанное число сначала преврати в неправильную дробь: целую часть умножь на знаменатель и прибавь числитель, а результат запиши над прежним знаменателем. Так, 1 1/2 становится 3/2, и уже эту дробь можно делить по общему правилу.

Как делить числа и дроби

Найди в таблице вид чисел в своём примере и используй соответствующий способ записи. Во всех случаях действие сводится к умножению на обратную дробь-делитель. После этого вычисли произведение и сократи его, если возможно.

Разбор задач

Вычислить 3/4 : 1/4

Здесь обе дроби показывают части одного целого, поэтому сначала можно понять смысл деления без общего правила. Нужно выяснить, сколько четвертей содержится в трёх четвертях. После вычисления проверим ответ умножением на делитель.

1. В одной четверти содержится 1/4, а в трёх четвертях — три такие части: 3/4 = 1/4 + 1/4 + 1/4. Значит, делитель 1/4 помещается в делимом 3/4 три раза.

2. Запишем вычисление по правилу: 3/4 : 1/4 = 3/4 · 4/1. Сократим 4 в знаменателе первой дроби и числителе второй, получим 3.

3. Проверим: 3 · 1/4 = 3/4, то есть получили исходное делимое. Это подтверждает, что частное найдено верно.

Ответ: 3.

Вычислить 5/6 : 2/3

Делитель здесь не равен нулю, значит, деление можно выполнить по правилу. Дробь, обратная 2/3, — 3/2. После замены деления умножением останется вычислить произведение и сократить его, если получится.

1. Перепишем действие: 5/6 : 2/3 = 5/6 · 3/2. Обрати внимание: дробь 5/6, которая является делимым, не переворачивается.

2. Перемножим числители и знаменатели: 5 · 3/(6 · 2) = 15/12. Дробь можно сократить на 3, потому что и 15, и 12 делятся на 3.

3. Получим 15/12 = 5/4. Проверим умножением: 5/4 · 2/3 = 10/12 = 5/6, значит, частное верно.

Ответ: 5/4.

Из 5 1/4 м ленты делают изделия, расходуя на каждое 3/4 м. Сколько изделий можно изготовить?

Чтобы узнать количество изделий, нужно общую длину ленты разделить на расход на одно изделие. Получается действие 5 1/4 : 3/4. Делить смешанное число по правилу удобнее после того, как оно станет неправильной дробью.

1. Переведём 5 1/4 в неправильную дробь: 5 · 4 + 1 = 21, поэтому 5 1/4 = 21/4. Теперь задача записывается так: 21/4 : 3/4.

2. Заменим деление умножением на дробь, обратную делителю: 21/4 · 4/3. Сократим 4 в числителе и знаменателе, получим 21/3 = 7.

3. Проверим смысл ответа: на 7 изделий понадобится 7 · 3/4 = 21/4 м, а 21/4 м — это 5 1/4 м. Значит, всей ленты хватит ровно на 7 изделий.

Ответ: 7 изделий.

Типичные ошибки

Иногда переворачивают делимое вместо делителя. Это происходит, когда правило запоминают как «переверни дробь», не уточняя какую именно. Например, в 3/4 : 1/2 переворачивать нужно 1/2, а 3/4 остаётся без изменений. Проверь себя: после записи умножения делимое должно стоять первым, а обратная дробь — второй.

Другая ошибка — перевернуть обе дроби. Но правило требует умножить делимое на обратную дробь-делитель, а не менять местами числитель и знаменатель у каждого числа. Если перевернуть обе дроби, получится другое действие и обычно неверный ответ. Чтобы проверить запись, назови вслух, какое число делимое, а какое делитель, и переверни только второе.

При делении на натуральное число забывают представить его дробью со знаменателем 1 или неверно находят обратную дробь. Например, для числа 3 нужно записать 3/1, а обратной будет 1/3, не 3/1. Ошибку можно заметить, проверив, что произведение исходной дроби и обратной равно 1. Поэтому 3/1 · 1/3 = 1.

Смешанное число иногда сразу подставляют в правило, не переводя в неправильную дробь. Из-за этого целая часть и дробная часть могут оказаться в вычислении не на своих местах. Например, 2 1/3 сначала превращается в (2 · 3 + 1)/3 = 7/3. Перед делением проверь, что смешанное число записано одной дробью и её значение не изменилось.

Связь с другими темами

Для деления дробей нужны навыки, освоенные раньше: сокращение дробей, умножение обыкновенных дробей и поиск обратной дроби. Если эти действия пока вызывают затруднения, сначала потренируйся на них: так проще замечать ошибки в длинном выражении. Новое правило связывает уже знакомые действия с делением и позволяет обходиться без отдельного способа для каждого вида чисел.

Деление на дробь встречается в задачах на количество частей: например, когда нужно узнать, сколько порций заданного размера получится из запаса. Оно помогает находить время и расстояние в задачах на движение, если величины заданы дробями. Также это правило используют при вычислениях с дробными выражениями, где деление входит в состав нескольких действий.

Что запомнить

• Деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь.
• Обратную дробь находят только для делителя.
• Нулём делить нельзя.
• Натуральное число можно записать дробью со знаменателем 1.
• Смешанное число перед делением удобно преобразовать в неправильную дробь.
• Результат умножения дробей следует сократить, если это возможно.