"Математика, изд. «ВИТА-ПРЕСС»", Александрова Э.И.
Неизвестную величину обозначают буквой, а связь между ней и известными числами записывают равенством. Если такое равенство содержит неизвестное, его называют уравнением. Чтобы найти значение буквы, нужно определить, каким компонентом действия она является, и выполнить обратное действие. Правила помогают решать уравнения и текстовые задачи, а подстановка ответа в исходное условие показывает, верно ли выполнены вычисления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неизвестная величина — это величина, значение которой требуется найти. Её обычно обозначают буквой, например x или a, и так отделяют искомое число от уже известных. Буква помогает записать условие задачи кратко и увидеть, как величины связаны между собой.
Уравнение — равенство, содержащее неизвестное. Например, x + 5 = 12 — уравнение, потому что вместо x можно подставить разные числа, но верным равенство станет не при каждом из них. В числовом равенстве, например 7 + 5 = 12, неизвестного нет: обе части уже имеют определённое значение.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством. В уравнении x + 5 = 12 корень равен 7, потому что 7 + 5 = 12. Понятие корня позволяет не просто выполнить вычисление, а проверить, подходит ли найденное число.
Обратные действия — действия, которые отменяют друг друга: сложение и вычитание, умножение и деление. Например, если к числу прибавили 6, вычитание 6 помогает вернуться к исходному числу. Обратные действия используют, чтобы отделить неизвестное от других чисел в уравнении.
Чтобы перевести условие задачи в равенство, сначала решите, какая величина неизвестна, и обозначьте её буквой. Затем выразите через неё известные величины и запишите, как они связаны по смыслу задачи. Например, если известно, сколько предметов взяли и сколько осталось, начальное количество можно представить как x, а условие записать равенством x − взяли = осталось. Такая запись сохраняет отношения из условия и помогает выбрать способ решения.
При поиске неизвестного компонента применяют действие, обратное известному, потому что оно отменяет выполненное действие. Если к неизвестному прибавили число, вычитание этого числа позволяет оставить неизвестное одно; если число умножили на известный множитель, деление на него восстанавливает неизвестное. Равенство сохраняется, когда над его частями выполняют одинаковые действия. В простых уравнениях это можно увидеть через правила нахождения компонентов: известное число убирают обратным действием.
В сложении результат называют суммой, а числа, которые складывают, — слагаемыми. Чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитают известное слагаемое. В вычитании уменьшаемое минус вычитаемое равно разности: неизвестное уменьшаемое находят сложением вычитаемого и разности, а неизвестное вычитаемое — вычитанием разности из уменьшаемого. Разница правил объясняется местом неизвестного: если оно стоит до знака вычитания, нужно восстановить всё исходное число; если после — определить, сколько убрали.
В умножении числа, которые перемножают, называют множителями, а результат — произведением. Неизвестный множитель находят делением произведения на известный множитель. В делении делимое делят на делитель и получают частное: неизвестное делимое равно делителю, умноженному на частное, а неизвестный делитель равен делимому, делённому на частное. Поэтому перед вычислением полезно определить, какое именно число неизвестно и где оно стоит в записи.
После решения подставьте найденное значение в исходное равенство или условие задачи. Выполните действия и проверьте, получилось ли верное равенство; в текстовой задаче ещё проверьте, отвечает ли число на вопрос и подходят ли единицы измерения. Такая проверка обнаруживает ошибки в вычислениях и помогает заметить, если неверно составили уравнение. Если проверка не проходит, вернитесь к записи условия и шагам решения.
| Что неизвестно | Как найти | Пример |
|---|---|---|
| Слагаемое | Из суммы вычесть известное слагаемое | x + 18 = 43; x = 43 − 18 = 25 |
| Уменьшаемое | К разности прибавить вычитаемое | x − 7 = 15; x = 15 + 7 = 22 |
| Вычитаемое | Из уменьшаемого вычесть разность | 20 − x = 15; x = 20 − 15 = 5 |
| Множитель | Произведение разделить на известный множитель | x × 4 = 20; x = 20 ÷ 4 = 5 |
| Делимое | Частное умножить на делитель | x ÷ 3 = 5; x = 5 × 3 = 15 |
| Делитель | Делимое разделить на частное | 20 ÷ x = 4; x = 20 ÷ 4 = 5 |
Сначала найдите в записи неизвестный компонент, затем примените соответствующее правило из таблицы. В примере проверьте вычисление подстановкой: результат должен совпасть с исходным равенством.
Задача 1. Найти неизвестное слагаемое: x + 18 = 43. Здесь 43 — сумма, 18 — известное слагаемое, а x — неизвестное слагаемое. Чтобы найти его, нужно убрать из суммы известную часть вычитанием. После вычисления проверим результат сложением.
Ответ: 25. Подстановка подтверждает, что найденное число подходит.
Задача 2. В коробке было несколько карандашей. После того как 7 карандашей взяли, осталось 15. Сколько карандашей было сначала? Начальное количество неизвестно, обозначим его x. Из него вычли 7 и получили 15, значит, составляем уравнение x − 7 = 15. Неизвестное здесь — уменьшаемое, поэтому восстановим его сложением вычитаемого и разности.
Ответ: сначала в коробке было 22 карандаша. Проверка показывает, что число соответствует и уравнению, и условию.
Задача 3. За несколько одинаковых тетрадей заплатили 96 рублей. Одна тетрадь стоит 12 рублей. Сколько тетрадей купили? Общая стоимость получается умножением цены одной тетради на количество. Обозначим количество буквой x: 12 × x = 96. Чтобы найти неизвестный множитель, делим произведение на известный множитель; в задаче это значит разделить общую стоимость на цену одной тетради.
Ответ: купили 8 тетрадей. Деление выбрано потому, что неизвестно количество одинаковых предметов, а стоимость одного и общая стоимость известны.
Неизвестное слагаемое иногда пытаются найти сложением. Так происходит, если забыть, что известное слагаемое уже входит в сумму: его нужно убрать, поэтому выполняют вычитание. Проверьте себя обратным действием — прибавьте найденное число к известному слагаемому. Если исходная сумма не получилась, решение неверно.
При вычитании путают правила для уменьшаемого и вычитаемого, не обращая внимания на их места. Если неизвестное стоит первым, его находят сложением вычитаемого и разности; если вторым — вычитанием разности из уменьшаемого. Перед вычислением подпишите компоненты или проговорите, какое число из какого вычитают. Затем подстановка покажет, верно ли выбран способ.
При делении можно механически разделить числа, не выяснив, неизвестно делимое или делитель. Из-за этого применяют не то правило: для делимого нужны частное и делитель, а для делителя — делимое и частное. Сначала перепишите выражение словами и отметьте место x. Проверьте ответ умножением: делитель на частное должен дать делимое.
Иногда ученик не проверяет ответ в исходном условии и считает решение законченным сразу после вычисления. Ошибку допускают, потому что сосредоточиваются на действиях и забывают вопрос задачи. Подставьте число в уравнение, а затем оцените, подходит ли оно по смыслу и единицам: например, количество предметов должно быть целым и не может быть отрицательным.
Для нахождения неизвестных нужно знать названия компонентов сложения, вычитания, умножения и деления, а также таблицы арифметических действий. Эти знания помогают сразу понять, какое правило применить и проверить вычисления. Дальше умение составлять уравнения пригодится при решении текстовых задач и поиске неизвестных величин по формулам. Во всех случаях важно сначала установить связь между известными и неизвестными данными.
Зачем обозначать неизвестное буквой?
Буква позволяет записать неизвестное число и связать его с известными величинами. Так условие задачи превращается в равенство, которое можно решить.
Как понять, какое действие нужно выполнить, чтобы найти неизвестное?
Сначала определите, каким компонентом действия является неизвестное: слагаемым, вычитаемым, множителем и так далее. Затем используйте связь компонентов с результатом и выберите действие, которое позволяет найти неизвестное.
Почему неизвестное уменьшаемое находят сложением?
Уменьшаемое — число, из которого вычитают вычитаемое. Чтобы восстановить его, к оставшейся разности нужно прибавить вычитаемое.
Чем отличается правило нахождения неизвестного делимого от правила нахождения неизвестного делителя?
Неизвестное делимое находят умножением делителя на частное. Неизвестный делитель находят делением делимого на частное.
Как проверить, что найденное значение подходит?
Подставьте его вместо буквы в исходное равенство и выполните вычисления. Если равенство верно и ответ соответствует смыслу задачи, значение найдено правильно.
Как находить неизвестные величины
