"Математика, изд. «ВИТА-ПРЕСС»", Александрова Э.И.
Длина, масса и время — величины, которые измеряют и сравнивают с помощью единиц. Складывать и вычитать можно величины одного вида: например, метры с метрами или килограммы с килограммами. Если единицы разные, их сначала приводят к общим. Составные числа, такие как 2 м 35 см, считают по отдельным единицам, при необходимости переводя лишние мелкие единицы или занимая крупную. Эти правила помогают решать задачи о покупках, измерениях, движении и находить периметр.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Однородные величины — это величины одного вида, например длины, массы или времени. Метры и сантиметры описывают длину, поэтому их можно сравнивать, складывать и вычитать после согласования единиц. А длину и массу объединить таким действием нельзя: они характеризуют разные свойства.
Единица измерения — величина, принятую за единицу при измерении и сравнении других величин. Длину измеряют в миллиметрах, сантиметрах и метрах, массу — в граммах и килограммах, время — в секундах, минутах и часах. Знание единиц и соотношений между ними нужно, чтобы одинаково записывать величины и переводить их перед вычислениями.
Именованное число — число вместе с названием единицы измерения, например 5 см или 3 кг. Число 5 само по себе не сообщает, о чём идёт речь: это могут быть сантиметры, килограммы или минуты. Единица указывает вид и размер величины, поэтому её нельзя опускать в записи ответа.
Составное именованное число выражает величину несколькими единицами одного вида. Например, 2 м 35 см — это длина, записанная в метрах и сантиметрах. Такая запись удобна, когда величина состоит из целого количества крупных единиц и оставшейся части меньших.
Складывать и вычитать можно однородные величины, потому что действие должно объединять или сравнивать значения одного и того же свойства. Например, к длине одной ленты можно прибавить длину другой, но прибавить к ней массу невозможно. При правильном действии результат сохраняет вид величины: сумма длин остаётся длиной, а разность масс — массой. Числовые значения при этом должны быть выражены в согласованных единицах, иначе обычное сложение чисел даст неверный результат.
Если единицы разные, сначала выберите общую единицу и переведите в неё обе величины. Это нужно потому, что одна крупная единица содержит определённое количество мелких: например, 1 м = 100 см, а 1 кг = 1000 г. После перевода одинаковые единицы можно складывать или вычитать как числа. Общую единицу выбирают удобную: для небольших величин часто проще использовать мелкую, чтобы не работать с дробными числами.
Составные именованные числа считают по соответствующим единицам: отдельно складывают или вычитают метры и сантиметры, килограммы и граммы. При сложении мелких единиц иногда получается целая крупная единица, которую нужно перевести и прибавить к крупным. При вычитании мелких единиц может не хватить; тогда одну крупную единицу заменяют соответствующим числом мелких. Такой порядок сохраняет значение величины, ведь замена основана на известном соотношении единиц.
Результат можно оставить в одной единице или записать составным числом. Например, 350 см можно представить как 3 м 50 см; выбор зависит от условия задачи и от того, какой ответ понятнее. В текстовой задаче обычно удобно использовать единицы, с которыми сформулировано условие, если это не делает запись громоздкой. В любом случае у ответа должна быть указана единица измерения.
Проверка помогает заметить ошибку в вычислениях или переводе. При сложении положительных величин сумма должна быть больше каждого слагаемого, а при вычитании — меньше уменьшаемого. Можно также выполнить обратное действие: к разности прибавить вычитаемое и получить уменьшаемое. Прикидка заранее показывает, какого порядка должен быть ответ, и помогает обнаружить, например, потерянный ноль при переводе единиц.
Пользуйтесь таблицей как кратким планом действий: сначала определите вид величин и сравните их единицы. Затем выберите нужный способ вычисления, а после проверьте, подходит ли запись результата к условию задачи. Для составных чисел отдельно проследите, нужны ли перевод при сложении или заимствование при вычитании.
| Ситуация | Что сделать перед вычислением | Как выполнить действие | Как записать результат |
|---|---|---|---|
| Однородные величины в одинаковых единицах | Проверить, что вид величины и единицы совпадают. | Сложить или вычесть числовые значения. | Указать ту же единицу измерения. |
| Однородные величины в разных единицах | Перевести обе величины в одну единицу. | Вычислить с полученными числовыми значениями. | Записать ответ в выбранной общей единице. |
| Составные именованные числа при сложении | Расположить соответствующие единицы рядом. | Сложить крупные и мелкие единицы отдельно. | Лишние мелкие единицы перевести в крупные. |
| Составные именованные числа при вычитании | Проверить, хватает ли мелких единиц. | Вычесть по единицам; при нехватке занять крупную. | Записать значения получившихся единиц. |
| Проверка результата | Оценить примерный размер ответа. | Сравнить ответ с исходными величинами или сделать обратное действие. | Убедиться, что ответ разумен и единица указана. |
Задача: вычислите 4 м 30 см + 2 м 50 см. В записи есть две одинаковые единицы длины, поэтому удобно сначала сложить метры, затем сантиметры. После этого нужно проверить, не составляют ли сантиметры ещё один целый метр.
Задача: вычислите 3 кг 200 г − 850 г. Чтобы вычитать, удобно записать обе величины в граммах: тогда не потребуется занимать килограмм в составной записи. Переводим килограммы по соотношению 1 кг = 1000 г.
Задача: от ленты длиной 5 м 8 см отрезали 2 м 75 см. Нужно узнать длину оставшейся ленты, то есть из всей длины вычесть отрезанный кусок. Метры и сантиметры удобно оставить в составной записи, но сантиметров у уменьшаемого меньше, поэтому потребуется заимствование.
Ошибка: складывать числа при единицах разных видов, например метры и секунды. Так поступают, когда замечают только числа, но не проверяют, что именно измерено. Проверьте названия величин: единицы длины можно сопоставлять с единицами длины, а длину со временем складывать нельзя.
Ошибка: сложить числовые значения метров и сантиметров без перевода, например 2 м + 30 см и получить 32. Причина — попытка обращаться с разными единицами как с одинаковыми. Приведите величины к общей единице и оцените ответ: 2 м 30 см должны быть больше 2 м, а не равны 32 м или 32 см.
При сложении составных чисел можно забыть перевести избыток мелких единиц в крупные. Например, 70 см + 50 см — это не 120 см, если ответ требуется в метрах и сантиметрах. Проверьте, сколько мелких единиц образуют одну крупную: 120 см = 1 м 20 см.
При вычитании иногда неверно занимают крупную единицу или забывают изменить её число. Если 1 м заменён на 100 см, метров становится на один меньше, а сантиметров — на 100 больше. После вычитания проверьте результат сложением: сумма разности и вычитаемого должна вернуть исходную величину.
Для работы с величинами нужно знать единицы длины, массы и времени, а также соотношения между ними. Например, без знания того, сколько сантиметров в метре, нельзя правильно привести длины к общей единице. Повторите таблицы единиц измерения, если при переводе возникают затруднения.
Тема опирается на умение переводить величины и выполнять действия с натуральными числами. Перевод устанавливает общую единицу, а сложение и вычитание чисел дают числовой результат. Эти же навыки встречаются в задачах на движение, покупки и измерения.
Сложение длин используется и при вычислении периметра — общей длины границы фигуры. В задачах о покупке можно складывать массы продуктов или вычитать потраченную сумму, а в задачах о движении — сопоставлять время и расстояние, не смешивая их единицы. Поэтому важно не только вычислить, но и правильно определить, какая величина требуется в ответе.
Можно ли складывать величины, выраженные в разных единицах?
Можно, если это величины одного вида, например метры и сантиметры. Сначала переведите их в одну единицу, затем сложите числовые значения и укажите единицу в ответе.
Можно ли складывать длину и массу?
Нет, длина и масса — величины разных видов. Их нельзя выразить в одной общей единице, поэтому сумма длины и массы не имеет смысла.
Как складывать составные именованные числа?
Складывайте отдельно значения при одинаковых единицах: метры с метрами, сантиметры с сантиметрами. Если мелких единиц получилось достаточно для одной крупной, выполните перевод, например 100 см = 1 м.
Что делать, если при вычитании мелких единиц не хватает?
Займите одну крупную единицу и замените её соответствующим количеством мелких. Например, 1 м можно заменить на 100 см, а затем выполнить вычитание сантиметров.
Как проверить ответ при сложении или вычитании величин?
Оцените результат: сумма должна быть больше каждого слагаемого, а разность — меньше уменьшаемого. Дополнительно выполните обратное действие и проверьте, получается ли исходная величина.
Как складывать и вычитать величины
