Как сравнивать по группе предметов

Определения и обозначения

Группа предметов — это несколько предметов, которые рассматривают вместе, например яблоки в корзине или карандаши на столе. Чтобы сравнить группы, сначала нужно понять, какие предметы входят в каждую из них, а затем определить их количество. Такая договорённость нужна, чтобы случайно не включить в одну группу предметы из другой. Сами предметы могут отличаться цветом, формой и размером: для сравнения по количеству важнее, сколько их.

Равные по количеству группы — это группы, в которых предметов поровну. Соответствие один к одному означает, что каждому предмету одной группы поставлен в пару ровно один предмет другой группы. Если после составления таких пар ничего не осталось, группы равны; если остались предметы, одна группа больше, а другая меньше. Это определение нужно, чтобы сравнивать группы, не полагаясь на то, как они выглядят на странице или на столе.

Слова «больше» и «меньше» при сравнении групп говорят о количестве предметов. Если после сопоставления в первой группе остались предметы без пары, в ней предметов больше, чем во второй; во второй, соответственно, меньше. Эти слова нужны, чтобы точно описать результат сравнения. Например, размер одной игрушки не означает, что в группе с ней предметов больше.

Как это устроено

Сравнение удобно начинать с того, что нужно внимательно отделить одну группу от другой. Если предметы лежат вперемешку, можно сначала разложить их по группам или мысленно решить, какие из них сравниваются. Иначе при сопоставлении легко взять предмет не из той группы и получить неверный вывод. Например, сравнивая чашки и блюдца, не следует случайно добавить к блюдцам ложку.

Затем каждому предмету первой группы подбирают один предмет второй. Лучше располагать найденные пары рядом или соединять их взглядом, чтобы не забыть, что уже было сопоставлено. Один предмет нельзя использовать сразу в нескольких парах: соответствие должно быть именно один к одному. Благодаря этому можно проверить равенство групп, даже если предметы лежат вразброс и их трудно пересчитать с первого взгляда.

Если удалось составить пары для всех предметов и ни одного предмета не осталось, количества равны. Это следует из того, что каждому предмету одной группы соответствует отдельный предмет другой, и наоборот. Если пары закончились, а предметы одной группы остались, именно в ней предметов больше. В другой группе их меньше, потому что каждый её предмет уже получил пару, а дополнительных предметов не нашлось.

Группы можно сравнить и пересчётом. При счёте каждому предмету называют одно число по порядку, начиная с одного, и не считают его повторно. Последнее названное число показывает количество предметов, если ни один не пропущен. Затем числа, полученные для групп, сравнивают: одинаковые числа означают равное количество, а большее число указывает на группу с большим количеством предметов.

Сопоставление парами и счёт помогают проверять друг друга. Пары особенно удобны, когда предметы стоят напротив или их немного; пересчёт полезен, когда предметов много или расположение не позволяет легко разложить их попарно. Если результаты способов не совпадают, нужно проверить, не пропущен ли предмет и не посчитан ли он два раза. Поэтому полезно при счёте передвигать предметы или отмечать уже посчитанные.

Способы сравнения групп

Сначала выбери способ, который подходит к расположению предметов: пары удобно искать, когда группы рядом, а счёт — когда предметы разбросаны. В таблице сравни результат с нужной строкой. Если ответ кажется неожиданным, перепроверь его вторым способом.

Разбор задач

Задача. На столе лежат пять чашек и четыре блюдца. Нужно выяснить, хватит ли каждому блюдцу своей чашки и в какой группе предметов больше. Не будем судить по тому, как чашки и блюдца расположены: положение предметов не меняет их количества. Сначала сопоставим предметы, а затем проверим вывод счётом.

1. Выделим две группы: чашки отдельно, блюдца отдельно. Это нужно, чтобы при сравнении случайно не пересчитать предмет из другой группы. В первой группе пять чашек, во второй — четыре блюдца.

2. Поставим к каждому блюдцу по одной чашке. Например, первую чашку сопоставим с первым блюдцем, вторую — со вторым, третью — с третьим, четвёртую — с четвёртым. Так каждому блюдцу досталась одна чашка, и чашки в пары не повторяются.

3. Проверим, что осталось после составления пар. Все четыре блюдца получили пары, но одна чашка осталась без блюдца. Значит, предметов больше в группе чашек, а блюдец меньше; групп поровну нет.

4. Пересчитаем предметы для проверки: чашки — 1, 2, 3, 4, 5; блюдца — 1, 2, 3, 4. Получили числа 5 и 4, поэтому счёт подтверждает результат сопоставления. Пересчёт здесь не меняет вывод, а помогает убедиться, что мы не пропустили предмет.

Ответ: чашек больше, чем блюдец; одна чашка останется без блюдца. Если бы чашек и блюдец оказалось поровну, каждому предмету одной группы соответствовала бы пара в другой группе. Для проверки можно было бы снова пересчитать обе группы. В этой задаче вывод подтверждают и оставшаяся без пары чашка, и числа 5 и 4.

Типичные ошибки

• Считать группу большей из-за крупных предметов. Ошибка возникает, когда размер предметов путают с их количеством: большая игрушка выглядит заметнее нескольких маленьких. Для сравнения по количеству нужно считать предметы или составлять пары, не оценивая их размер. Проверь себя вопросом: сколько отдельных предметов в каждой группе?

• Сопоставлять один предмет сразу с несколькими. Так пары перестают показывать, равны ли группы, потому что один предмет будто бы заменяет несколько. Это часто происходит, если вести пары только глазами и забывать, что уже сопоставлено. Составляй пары последовательно и следи, чтобы каждый предмет участвовал только в одной паре.

• Пропускать или пересчитывать предмет при счёте. Такое случается, если предметы лежат близко или беспорядочно. Тогда названное последним число уже не соответствует количеству. Передвигай посчитанные предметы, отмечай их или перепроверь результат сопоставлением парами.

• Неверно определять, где больше, по оставшимся предметам. Если без пары осталась чашка, это значит, что чашек больше, а не блюдец. Ошибку допускают, когда замечают остаток, но не проверяют, из какой он группы. Перед ответом назови группу, в которой лежат предметы без пары, и сравни её с другой.

Связь с другими темами

Сравнение групп связано со счётом: пересчитав предметы, можно выразить количество числом и сравнить полученные числа. Оно также помогает понять значения слов «больше», «меньше» и «поровну», которые встречаются в задачах и повседневных ситуациях. Сопоставление один к одному пригодится, например, когда нужно проверить, хватит ли каждому ученику стула или каждой тарелке ложки. Так сравнение предметов помогает перейти от наглядных групп к сравнению чисел.

Что запомнить

• Сравнивать группы по количеству можно с помощью пар или пересчёта.
• Если каждому предмету нашлась отдельная пара и лишних предметов нет, группы равны.
• Группа с предметами без пары — большая; другая группа — меньшая.
• При счёте не пропускай предметы и не считай один предмет дважды.
• Размер и расположение предметов не определяют, в какой группе их больше.