Как сравнивать по объему

Определения и обозначения

Объём тела — величина, показывающая, сколько места занимает тело в пространстве. Например, большой ящик обычно занимает больше места, чем маленький, и его объём больше. Понятие объёма нужно, чтобы сравнивать тела не по внешнему виду, а по занимаемому ими пространству. В дальнейшем объём можно будет не только сравнивать, но и измерять.

Сравнение объёмов — установление, какое тело занимает больше, меньше или столько же места. Результат сравнения выражают словами «больше», «меньше» или «равно». Это нужно, например, чтобы понять, поместится ли один предмет в коробку или хватит ли места для хранения. Сравнение не всегда удаётся выполнить простым взглядом, поэтому используют разные способы.

Равновеликие тела — тела, имеющие одинаковый объём, даже если они различаются формой. К примеру, одинаковое количество вещества можно уложить в виде шара или вытянутой фигуры. Внешне такие тела будут разными, но займут одинаковое пространство. Понятие равновеликости помогает не путать форму тела с его объёмом.

Единица объёма — условно выбранный объём, с которым сравнивают объёмы других тел. Если принять за мерку один одинаковый кубик, можно узнать, сколько таких кубиков составляют каждое тело. Это нужно, когда тела нельзя удобно поставить рядом или вложить одно в другое. Чтобы сравнение было честным, для обоих тел выбирают одну и ту же мерку.

Как это устроено

Если тела можно поднести друг к другу, сначала попробуйте сравнить их непосредственно. Когда одно целиком помещается внутри другого, оно не может занимать больше места, чем внешнее тело. Если при этом внутреннее тело не заполняет всё пространство, его объём меньше; если заполняет полностью — объёмы равны. Такой способ удобен, но подходит не для любых тел: твёрдые предметы сложной формы часто нельзя вложить друг в друга.

Форма сама по себе не сообщает, сколько места занимает тело. Например, одну и ту же массу пластилина можно слепить в шар или вытянуть в длинную полоску: вид изменится, но объём пластилина останется прежним. Поэтому сравнение только по внешнему виду может привести к ошибке. Объём определяется тем, какое пространство занимает тело, а не тем, насколько оно похоже на другое.

Если тела нельзя непосредственно сопоставить, их можно разделить на одинаковые части. Затем сравнивают число частей или складывают их так, чтобы стало ясно, одинаковое ли пространство они занимают. Этот способ работает, только если части действительно равны по объёму: сравнивать, например, крупные куски с мелкими без дополнительного измерения нельзя. Для сложных тел иногда удобнее заполнить одинаковые сосуды или сравнить тела одинаковыми мерками.

При измерении выбирают единицу объёма — мерку, повторяющуюся без изменений. Например, можно считать, сколько единичных кубиков помещается в каждом теле. Если для одного тела взять маленькие кубики, а для другого — большие, полученные числа будут относиться к разным меркам. По ним нельзя прямо заключить, у какого тела объём больше: сначала нужно измерить оба одной и той же единицей.

Когда оба тела заполнены одинаковыми единицами объёма, сравнить результаты просто. Равное число единиц означает равные объёмы, а большее число единиц — больший объём тела. Например, 15 одинаковых кубиков занимают больше места, чем 12 таких же кубиков. Для жидкостей можно использовать одинаковые меры или смотреть на уровень в одинаковых сосудах: форма сосуда влияет на уровень, поэтому сопоставлять нужно именно одинаковые сосуды или число одинаковых мер.

Способы сравнения объёмов тел

Таблица помогает выбрать способ по ситуации: сначала проверьте, можно ли сравнить тела непосредственно, а затем — можно ли разделить их или измерить общей меркой. Для жидкостей учитывайте, одинаковы ли сосуды и меры. В любом случае итог должен опираться на одинаковые условия сравнения.

Разбор задач

Задача 1. Одно тело полностью помещается внутри другого. Нужно сравнить их объёмы. В этой ситуации дополнительная мерка не требуется: тела уже можно сопоставить непосредственно. Проследим, что следует из условия.

1. Обозначим тело внутри как первое, а тело, в которое его поместили, — как второе.
2. Всё пространство, занимаемое первым телом, находится внутри пространства второго тела.
3. Значит, первое тело не может занимать больше места, чем второе; если вокруг него остаётся свободное место, объём первого меньше.

Ответ: объём внутреннего тела не больше объёма внешнего. Если внутреннее тело заполняет внешнее полностью, объёмы равны.

Задача 2. Первое тело составлено из 12 одинаковых кубиков, второе — из 15 таких же кубиков. Нужно сравнить объёмы. Кубики одинаковы, поэтому каждый из них служит одной и той же единицей объёма. Достаточно сравнить их количество.

1. Запишем число единиц для первого тела: 12.
2. Запишем число единиц для второго тела: 15.
3. Сравним числа: 15 больше 12, значит, второе тело содержит больше одинаковых единиц объёма.

Ответ: объём второго тела больше объёма первого. Здесь важно, что кубики одинаковые: иначе число кубиков само по себе не позволило бы сравнить объёмы.

Задача 3. Требуется сравнить объёмы двух тел сложной формы, которые нельзя вложить одно в другое. Можно разложить их на равные по объёму части либо заполнить одинаковыми мерами. Выберем способ с одинаковыми мерами: он позволяет сравнить тела, даже если их внешний вид сильно различается.

1. Подготовим одну мерку, например одинаковый небольшой кубик, и будем использовать её для обоих тел.
2. Заполним мерками первое тело и запишем их число; затем так же измерим второе тело.
3. Сравним полученные числа. Больше мерок означает больший объём, одинаковое число — равные объёмы.

Ответ: объёмы сравнивают по числу одинаковых мерок; без результатов измерения нельзя заранее сказать, какое тело больше. Если мерками заполнять неудобно, тела можно разделить на одинаковые по объёму части и сравнить количество частей.

Типичные ошибки

• Судить об объёме только по длине, ширине или высоте. Один размер не показывает, сколько места занимает всё тело: длинное тело может быть очень тонким. Так ошибаются, потому что заметное измерение принимают за характеристику всего предмета. Проверьте себя: сравните тела целиком или используйте одинаковую мерку.
• Считать тела равными по объёму из-за формы или внешнего вида. Похожесть не доказывает, что тела занимают одинаковое пространство, а разные формы не означают разные объёмы. Ошибка возникает, когда вывод делают на глаз. Проверьте его непосредственным сравнением, разбиением или общей меркой.
• Сравнивать числа, полученные разными единицами объёма. Например, число больших кубиков для одного тела нельзя напрямую сопоставить с числом маленьких кубиков для другого. Разные мерки дают разные числовые результаты. Для проверки измерьте оба тела одной и той же единицей.
• Путать объём с площадью поверхности или вместимостью сосуда. Площадь описывает внешнюю границу тела, а объём — занимаемое пространство; вместимость показывает, сколько может поместиться в сосуде. Эти величины связаны с разными вопросами, поэтому одно не заменяет другое. Спросите себя, что нужно выяснить: размер поверхности, занимаемое место или количество жидкости внутри.

Связь с другими темами

Для сравнения объёмов пригодятся умения сравнивать величины, пользоваться мерками и делить целое на равные части. Единицу объёма удобно представить как единичный куб: так связь с единицами длины становится наглядной, а куб служит мерой пространства. Позже этот подход поможет вычислять объём прямоугольного параллелепипеда и измерять вместимость сосудов. Он также нужен в практических задачах — например, при выборе коробки для предмета или оценке количества жидкости.

Что запомнить

• Объём показывает, сколько места занимает тело.
• Тела можно сравнивать по объёму непосредственно или с помощью одинаковой мерки.
• Тела разной формы могут иметь одинаковый объём.
• При сравнении мерками нужно использовать одну и ту же единицу объёма.
• Чем больше одинаковых единиц объёма содержит тело, тем больше его объём.
• Равновеликие тела имеют одинаковый объём.