Как сравнивать по площади

Определения и обозначения

Площадь фигуры — величина, которая показывает, сколько места фигура занимает на плоскости. Благодаря площади можно сравнить, какая из фигур занимает большую часть плоскости, даже если они имеют разную форму. Это помогает рассуждать о размере фигуры не только по её сторонам. Площадь обозначают словами или числом с выбранной единицей измерения.

Единичный квадрат — квадрат, площадь которого принята за единицу. Площадь другой фигуры можно выразить числом таких одинаковых квадратов, покрывающих её без промежутков и наложений. Например, если фигура покрыта шестью единичными квадратами, её площадь равна шести таким единицам. Этот способ даёт общую меру для сравнения разных фигур.

Равновеликие фигуры — фигуры с одинаковой площадью. При этом они могут иметь разную форму, а их стороны — разную длину: равенство площади не означает совпадения фигур. Например, части одного прямоугольника можно переставить и получить фигуру другой формы с той же площадью. Понятие равновеликости позволяет сравнивать фигуры по занимаемому месту, а не по внешнему виду.

Как это устроено

Самый непосредственный способ сравнить две фигуры — наложить одну на другую. Если первая целиком помещается внутри второй, она не занимает больше места, поэтому её площадь не больше площади второй фигуры. Когда границы фигур полностью совпадают, совпадает и занимаемая часть плоскости, значит, площади равны. Наложение удобно, потому что сравнение видно сразу и не требует подсчётов.

Иногда фигуры нельзя удобно наложить: они могут быть нарисованы отдельно или иметь сложную форму. Тогда каждую фигуру разбивают на части, которые проще сравнивать между собой, например на прямоугольники и треугольники. Если соответствующие части равны по площади, можно сопоставить их и сделать вывод о площадях целых фигур. Этот приём работает потому, что разбиение не убирает и не добавляет ни одного участка исходной фигуры.

Для сложных контуров подходит подсчёт единичных квадратов. Фигуру мысленно или на бумаге покрывают одинаковыми квадратами, считают целые клетки, а неполные части объединяют, если они составляют целые клетки. Так можно сравнить площади, не измеряя каждый изгиб границы отдельно. Точность зависит от того, насколько аккуратно учтены все части клеток.

Подсчёт по клеткам справедлив только при одинаковом размере единичных квадратов. Если клетка на одном рисунке крупнее, чем на другом, одинаковое число клеток означает разную занимаемую площадь. Поэтому при сравнении рисунки должны быть выполнены в одном масштабе, а клетки — иметь одну и ту же площадь. Иначе сравниваются разные единицы измерения, и вывод может оказаться неверным.

Форма и площадь — не одно и то же. Длинная сторона может быть у узкой фигуры, которая в целом занимает меньше места, чем более компактная фигура с короткими сторонами. Чтобы решить, какая фигура больше по площади, нужно учитывать всю её поверхность, а не выбирать одну сторону как показатель. Именно поэтому наложение, разбиение и подсчёт клеток надёжнее зрительной оценки.

Способы сравнения фигур по площади

В таблице собраны основные способы и подсказки, когда каждый из них удобен. Сначала оцените, можно ли фигуры наложить; если нет, подумайте о разбиении или клетках. Последняя строка помогает записать итог: равенство площадей или порядок «меньше — больше».

Разбор задач

Задача 1. Даны два бумажных прямоугольника. Определите, у какого из них площадь больше, наложив один на другой. Нужно сравнить не только длину прямоугольников, а всю занимаемую ими часть плоскости. Для этого достаточно проверить, закрывает ли один прямоугольник другой целиком.

1. Совместим прямоугольники так, чтобы их стороны шли в одном направлении, а один угол совпал.
2. Посмотрим на границы: если один прямоугольник целиком находится внутри другого и не совпадает с ним, его площадь меньше.
3. Если прямоугольники накрывают друг друга точно, их площади равны; если ни один не помещается внутри другого, одного такого наложения недостаточно — изменим положение или применим клетки.

Ответ: площадь больше у прямоугольника, который содержит другой при наложении. Если границы полностью совпали, площади равны. Сравнение по одной стороне не заменяет эту проверку.

Задача 2. Сравните площади двух фигур на клетчатой бумаге, считая полные и неполные клетки. Примем одну клетку за единичный квадрат. Чтобы сравнение было точным, фигуры должны быть нанесены на сетку с одинаковыми клетками.

1. Посчитаем в каждой фигуре клетки, целиком лежащие внутри её границы.
2. Отдельно рассмотрим неполные клетки и объединим части, которые вместе составляют целую клетку; не будем отбрасывать участки только из-за того, что они меньше клетки.
3. Сложим полные клетки с полученным числом клеток из неполных частей и сравним итоги для двух фигур.

Ответ: больше площадь той фигуры, для которой получилось больше единичных квадратов. Если количества равны, фигуры равновелики. Если неполные части нельзя точно объединить на глаз, можно оценить их вместе или дополнительно разбить сетку.

Задача 3. Из двух одинаковых прямоугольников составили разные фигуры: один прямоугольник разрезали и передвинули его части. Сравните площади получившихся фигур. При этом важно выяснить, использованы ли все части исходного прямоугольника без наложений и промежутков. Меняется расположение частей, но не их количество и не занимаемая ими суммарная площадь.

1. Мысленно соберём разрезанный прямоугольник обратно и убедимся, что его части полностью покрывают исходную фигуру.
2. Проверим, что при новом расположении ни одна часть не потеряна, не повторена и не наложена на другую.
3. Поскольку состав каждой фигуры сохраняет площадь исходного прямоугольника, сравним их площади с площадью этого прямоугольника.

Ответ: площади получившихся фигур равны площади исходного прямоугольника, поэтому они равны между собой. Их контуры могут быть разными. Вывод верен при условии, что все части использованы без пропусков и наложений.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что более длинная сторона обязательно означает большую площадь. Так думают, потому что длину легко заметить, а всю фигуру оценить сложнее. Но длинная и узкая фигура может занимать меньше места, чем компактная; сравните фигуры наложением или по клеткам. Проверяйте всю площадь, а не один отрезок.

Вторая ошибка — сравнивать число клеток, не проверив их размер. Одинаковое количество больших и маленьких клеток даёт разную площадь, хотя числа совпадают. До подсчёта убедитесь, что единичные квадраты одинаковы и рисунки выполнены в одном масштабе. Если клетки различаются, сначала приведите измерения к общей единице.

Третья ошибка — учитывать только полные клетки и отбрасывать неполные. Так поступают, потому что части клеток сложнее считать, но вместе они могут составить одну или несколько целых клеток. Объединяйте подходящие части и сравнивайте их сумму. Для самопроверки посмотрите, остались ли у границ неучтённые участки.

Четвёртая ошибка — при разбиении забыть часть фигуры или посчитать её дважды. Это случается, когда разрезы и получившиеся куски трудно проследить. Проверьте, что части без промежутков покрывают всю исходную фигуру и нигде не перекрывают друг друга. Полезно мысленно собрать фигуру обратно и сверить её контур.

Связь с другими темами

Для сравнения площадей пригодятся навыки, которые уже встречались при работе с геометрическими фигурами. Нужно уметь совмещать фигуры наложением, распознавать квадрат и ориентироваться на клетчатой бумаге. Это помогает выбрать подходящий способ и не перепутать форму с площадью. Единичный квадрат становится общей мерой, когда сравнение на глаз уже не помогает.

Сравнение площадей готовит к изучению единиц площади и вычислению площади прямоугольника и других многоугольников. Понимание того, что площадь измеряется одинаковыми единицами, помогает осмысленно пользоваться формулами и проверять результаты. Разбиение на части также пригодится, когда сложную фигуру нужно представить как несколько более простых. Так наглядные способы постепенно связываются с вычислениями.

Что запомнить

• Площадь характеризует размер части плоскости, занятой фигурой.
• При наложении фигура, помещающаяся внутри другой, имеет площадь не больше её площади.
• Равные по площади фигуры могут иметь разную форму.
• Для подсчёта площади выбирают одинаковые единичные квадраты.
• Неполные клетки при подсчёте нужно учитывать.
• Разбиение и перемещение частей без наложения сохраняет площадь.