Как сравнивать углы

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Это общее начало называют вершиной, а лучи — сторонами угла. Угол обозначают знаком ∠ и буквами, например ∠ABC; буква B в середине указывает на вершину. Такое обозначение помогает точно понять, о какой фигуре идёт речь.

Равные углы — это углы, которые при наложении полностью совпадают. Их вершины и стороны тогда совмещаются, даже если на рисунке углы были расположены по-разному. Значит, положение угла на листе не меняет его величину. Это определение позволяет сравнить углы, не полагаясь на то, как они выглядят рядом.

Градусная мера угла — число градусов, которое показывает его величину. Градусы записывают числом и знаком °, например 47°. Чем больше градусная мера, тем больше угол. Числовая запись удобна, когда углы нужно сравнить или сообщить результат измерения.

Транспортир — инструмент, которым измеряют углы. На нём есть центр, основание и шкала с делениями; обычно шкал две, с отсчётом в противоположных направлениях. Центр располагают на вершине угла, а шкалу используют для отсчёта градусов. Эти части помогают точно совместить инструмент с углом и снять его меру.

Как это устроено

Чтобы сравнить углы наложением, один угол мысленно или на кальке переносят к другому. Совмещают вершины, затем поворачивают угол так, чтобы совпала одна сторона. После этого сравнивают положение вторых сторон. Такой порядок превращает два раздельных изображения в наглядное сравнение.

Совместить нужно и вершину, и одну сторону, потому что одной общей точки недостаточно: вокруг неё стороны могут быть направлены по-разному. Общая сторона задаёт одинаковое начало отсчёта, а вторые стороны показывают раскрытие каждого угла. Если не совместить сторону, нельзя понять, какой угол раскрыт шире. Поэтому точное наложение делает сравнение справедливым.

Когда вторые стороны оказываются одна между другой и общей стороной, меньший угол находится внутри большего. Если вторые стороны совпали, совпали и углы — они равны. Если же второй угол при наложении охватывает первый, он больше. Вывод основан на том, какую часть раскрытия занимает каждый угол, а не на длине его сторон.

Сравнить углы можно и измерением: каждый угол измеряют транспортиром, а затем сопоставляют полученные числа. Сначала центр инструмента ставят на вершину, основание совмещают со стороной, а градусную меру считывают у другой стороны. Если, например, получились 47° и 52°, то второй угол больше, поскольку 52 больше 47. Числа позволяют сравнить углы даже тогда, когда наложить их неудобно.

По внешнему виду рисунка не всегда можно надёжно определить величину: чертёж может быть выполнен неточно, а углы могут быть наклонены или разнесены. Кроме того, более длинные стороны не означают больший угол. Наложение удобно, когда углы можно перенести на кальку и сравнить прямо. Измерение транспортиром подходит, когда нужно получить точную градусную меру или углы нельзя удобно наложить.

Способы сравнения углов

Выбери способ в зависимости от задачи: наложение показывает взаимное положение углов, а транспортир даёт числовую меру. По рисунку можно быстро оценить углы, но при сомнении лучше проверить оценку наложением или измерением. Так таблица помогает не только выбрать действие, но и понять, насколько надёжен вывод.

Разбор задач

Задача 1. Сравнить два угла, изображённых отдельно, если их можно перенести на кальку.

Условие: углы расположены отдельно, а калька позволяет перенести один из них. Нужно определить, равны ли они и какой угол больше. Сравнивать длину сторон нельзя, потому что она не задаёт величину угла. Подойдёт непосредственное наложение.

1. Перенесём первый угол на кальку, не меняя раскрытия между его сторонами.
2. Положим его на второй угол так, чтобы вершины совпали, и повернём до совпадения одной стороны.
3. Посмотрим, где проходит вторая сторона каждого угла: если стороны совпали, углы равны; если одна находится внутри другой, этот угол меньше.

Наложение позволяет сравнить раскрытие углов напрямую, независимо от их положения на листе. Если калька показывает, что один угол охватывает другой, именно он больше. Ответ: сравнение выполняют по положению вторых сторон после совмещения вершин и одной стороны.

Задача 2. Сравнить углы ABC и DEF, измерив их транспортиром.

Условие: даны углы ABC и DEF, требуется сравнить их измерением. Перед отсчётом важно правильно расположить транспортир, иначе показание шкалы не будет относиться к нужному углу. Вершинами являются B и E соответственно. Полученные меры сравним как числа.

1. Поставим центр транспортира на вершину B и совместим его основание и нулевую отметку с одной стороной угла ABC.
2. Найдём место, где вторая сторона пересекает шкалу, и запишем градусную меру; прочитаем ту шкалу, которая начинается от совмещённой стороны.
3. Повторим измерение для угла DEF, поставив центр на E, а затем сравним две записи: большему числу соответствует больший угол.

Например, если измерения дали 38° и 61°, то ∠DEF больше ∠ABC, поскольку 61° больше 38°. Если числа равны, углы равны по величине. Ответ: сравнить углы ABC и DEF нужно по градусным мерам, снятым с транспортира.

Задача 3. Угол A равен 47°, угол B — 47°, а угол C — 52°. Установить, какие углы равны и какой из них больше.

Условие уже содержит градусные меры, поэтому измерять углы повторно не нужно. Для равенства сопоставим числа у углов A и B. Затем сравним меру угла C с одинаковыми мерами этих углов. Такой ход позволяет сделать вывод без чертежа.

1. Запишем меры: A = 47°, B = 47°, C = 52°.
2. Сравним A и B: их меры совпадают, значит, углы A и B равны.
3. Сравним 52° с 47°: поскольку 52 больше 47, угол C больше углов A и B.

Здесь равенство устанавливается по одинаковым градусным мерам, а больший угол определяется по большему числу градусов. Сравнивать длины нарисованных сторон для решения не требуется. Ответ: A = B; угол C больше каждого из них.

Типичные ошибки

Ошибка — судить о величине угла только по длине его сторон. Так делают, потому что длинные линии заметнее и могут создавать впечатление большего раскрытия. Но сторону можно удлинить или укоротить, не изменив угол. Проверь себя: сравни именно раскрытие сторон наложением или измерь угол транспортиром.

Ошибка — совместить при наложении только вершины, оставив стороны в разных направлениях. Тогда положение вторых сторон нельзя корректно сопоставить, хотя кажется, что общая точка уже даёт начало сравнения. Нужно совместить вершины и одну сторону. Проверь результат: после наложения одна пара сторон должна лежать друг на друге.

Ошибка — поставить центр транспортира не на вершину или не совместить нулевую отметку со стороной. Так случается, когда инструмент прикладывают приблизительно или смотрят только на деления. Начальная точка измерения смещается, и число получается неверным. Перед отсчётом проверь, что центр стоит на вершине, а сторона проходит через ноль.

Ошибка — прочитать шкалу, которая начинается не от совмещённой стороны. У транспортира две шкалы, поэтому одно пересечение может дать два разных числа, и легко выбрать привычное. Найди ноль именно у той стороны, с которой начинаешь отсчёт. Самопроверка: значение должно соответствовать направлению раскрытия угла, а не соседней шкале.

Связь с другими темами

Для работы с углами нужно уметь распознавать луч, вершину и стороны угла, а также правильно обозначать его. Знание о луче помогает понять, почему у угла есть общее начало, а измерение длины отрезка напоминает: длина стороны и величина угла — разные свойства. Сравнение и измерение углов пригодятся при изучении видов углов и построении фигур. Эти умения также используют в задачах о геометрических фигурах.

Что запомнить

• Угол сравнивают по его величине, а не по длине сторон.
• При наложении углов совмещают вершины и по одной стороне.
• Совпавшие при наложении углы равны.
• Угол, который при наложении помещается внутри другого, меньше него.
• Транспортиром измеряют градусную меру угла.
• При измерении центр транспортира ставят на вершину угла.
• Бóльшей градусной мере соответствует бóльший угол.