"Математика, изд. «ВИТА-ПРЕСС»", Александрова Э.И.
Нестандартная задача часто не подсказывает готовый способ решения, поэтому приходится внимательно разбирать условие и выбирать подходящий приём. Можно искать закономерность, последовательно перебирать варианты, опровергать утверждение контрпримером или обнаруживать свойство, которое сохраняется при действиях. Эти методы помогают не только находить ответы, но и объяснять, почему другие ответы невозможны. Главное — проверять догадки и сверять результат с условием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Закономерность — повторяющееся правило, связывающее элементы числового или геометрического ряда. Например, если соседние числа каждый раз увеличиваются на 3, это правило помогает продолжить ряд. Но сначала его нужно сверить со всеми данными: случайное совпадение ещё не объясняет весь ряд.
Перебор — последовательная проверка всех возможных вариантов в заданных пределах. Он нужен, когда способов немного и каждый можно проверить напрямую, например при составлении чисел из нескольких цифр. Упорядоченный перебор помогает убедиться, что ни один случай не потерян и один вариант не посчитан дважды.
Контрпример — отдельный пример, который опровергает общее утверждение. Если говорится, что правило верно всегда, достаточно найти один случай, в котором оно не работает. Поэтому при проверке утверждения ищут не множество примеров в его пользу, а возможный случай-исключение.
Инвариант — величина или свойство, которое не меняется при разрешённых действиях. Это может быть не только конкретное число, но и, например, чётность или остаток при делении. Инвариант полезен, когда требуется понять, достижимо ли некоторое состояние: если нужное состояние нарушает сохраняющееся свойство, получить его нельзя.
Перед решением отдели условие от вопроса: выпиши, что уже известно, какие действия разрешены и что требуется найти или доказать. Это важно, потому что незамеченное ограничение может сделать допустимый на первый взгляд ответ неверным. Например, при составлении чисел нужно уточнить, разрешено ли повторять цифры. После этого проще выбрать способ решения и проверить результат именно по исходным условиям.
Поиск закономерности помогает продолжить ряд, потому что предыдущие элементы подсказывают возможное правило перехода к следующим. Сравни числа или фигуры по одному признаку: разности, форме, числу деталей. Однако короткая последовательность может подходить сразу под несколько правил, поэтому нельзя считать первую догадку единственно верной. Проверь её на каждом известном элементе и убедись, что она отвечает вопросу задачи.
Перебор полезен, когда можно задать конечный список вариантов и проверить каждый из них. Чтобы не запутаться, выбери постоянный порядок: например, сначала рассматривай все варианты с первой цифрой 1, затем с первой цифрой 2. Внутри каждой группы перечисляй оставшиеся возможности по возрастанию. В конце проверь границы: все ли допустимые случаи включены и нет ли повторов под другим видом.
Общее утверждение претендует на истинность во всех подходящих случаях, поэтому для его опровержения достаточно одного контрпримера. Например, фразу «все простые числа нечётные» опровергает число 2: оно простое и чётное. Несколько подтверждающих примеров не докажут, что утверждение верно всегда, потому что непроверенный случай может оказаться исключением. Контрпример должен удовлетворять условиям утверждения, иначе он ничего не опровергает.
Инвариант позволяет рассуждать о ходе задачи, не перебирая все возможные последовательности действий. Сначала выбери свойство, которое может сохраняться, затем проверь его после каждого разрешённого шага. Например, если одно число заменяют модулем разности с другим, общий делитель пары не меняется: gcd(a,b) = gcd(|a − b|, b). Если начальное состояние имеет одно значение этого свойства, а требуемое — другое, требуемое состояние недостижимо. Такой вывод сокращает решение, но работает только после обоснования сохранения свойства.
| Приём | Когда полезен | Что проверить |
|---|---|---|
| Поиск закономерности | Когда нужно продолжить ряд или описать повторяющееся правило. | Согласуется ли правило со всеми данными. |
| Систематический перебор | Когда число вариантов ограничено и каждый можно проверить. | Не пропущены ли случаи и нет ли повторов. |
| Контрпример | Когда нужно проверить общее утверждение или опровергнуть его. | Подходит ли найденный случай под условия утверждения. |
| Инвариант | Когда нужно определить, возможно ли получить заданный результат действиями. | Действительно ли свойство сохраняется на каждом шаге. |
Сначала соотнеси вопрос задачи с колонкой «Когда полезен»: это подскажет, какой приём попробовать. Затем используй колонку «Что проверить» как короткую проверку рассуждения. Если приём не помогает, вернись к условию и попробуй другой способ.
Решение. Чтобы найти возможное правило, сравним соседние числа. Проверим, одинаково ли меняются члены ряда при переходе от одного к следующему, а затем применим это изменение ещё раз. Полученный ответ будет верен при условии, что ряд продолжается по найденному правилу.
Ответ: 14, если каждый следующий член получается прибавлением 3. По нескольким членам ряда могут подходить и другие правила, но здесь выбрано простое правило, которое объясняет все переходы.
Решение. У числа есть первая и вторая цифры, и они должны быть различными. Чтобы не пропустить комбинацию, будем закреплять первую цифру, а затем по очереди ставить на второе место каждую из оставшихся. Так один и тот же вариант не появится в разных группах.
Ответ: 12, 13, 21, 23, 31, 32; всего 6 чисел. Проверка по группам показывает, что использованы все три возможные первые цифры, а повторения внутри числа нет.
Решение. Будем считать, что после выбора двух чисел одно из них заменяют их разностью, а второе остаётся на доске; модуль нужен, чтобы результат был неотрицательным. Ищем свойство, которое сохраняется при таком ходе, чтобы не перебирать последовательности действий. Подойдёт общий делитель всех чисел: он равен 1 только тогда, когда ни одно число больше 1 не делит их все.
Ответ: нет, получить четыре нуля нельзя. Это доказательство относится к указанному правилу хода, при котором одно число заменяют разностью, а второе оставляют.
Принимать первую догадку за единственное правило ряда. Так делают, потому что несколько первых элементов часто создают впечатление очевидного повторения. Но те же числа могут объясняться и иначе. Проверь найденное правило на каждом известном члене и сформулируй, при каком условии оно позволяет продолжать ряд.
Пропускать варианты или считать один несколько раз. Это случается, когда варианты перечисляют без постоянного порядка или переходят между группами наугад. Составь группы по одному признаку и отмечай уже проверенные случаи. В конце проверь, что все допустимые варианты попали в список ровно по одному разу.
Подтверждать утверждение примерами вместо поиска опровержения. Несколько подходящих примеров показывают лишь, что утверждение сработало в этих случаях. Ошибку допускают, когда принимают повторение успеха за доказательство правила «всегда». Если нужно опровергнуть утверждение, ищи один допустимый контрпример и проверь, что он действительно подходит под его условия.
Считать инвариантом только неизменное число. Так кажется из-за слова «величина», но сохраняться может свойство: чётность, остаток при делении или общий делитель. Для проверки себя сформулируй это свойство точно и проверь его после каждого разрешённого действия. Если хотя бы один ход меняет его, выбранный признак не является инвариантом для этой задачи.
Для решения нестандартных задач нужны базовые навыки вычислений, сравнения чисел и внимательного чтения условия. Без них легко ошибиться в разности, пропустить ограничение или включить в перебор неподходящий случай. Поэтому сначала отделяй данные от вопроса и уточняй, какие действия разрешены.
Поиск закономерности, перебор, контрпример и инвариант полезны далеко за пределами задач на ряды. Они помогают разбирать текстовые задачи, проверять утверждения и обосновывать выводы. Позже такие способы рассуждения пригодятся при изучении алгебры и геометрии, где важно не только получить ответ, но и объяснить, почему он верен.
Как понять, что в задаче нужно искать закономерность?
Обычно такой поиск полезен, когда даны несколько чисел, фигур или действий, расположенных в определённом порядке, и нужно продолжить ряд или описать правило. Сравни соседние элементы и проверь, повторяется ли найденное изменение.
Как не пропустить варианты при переборе?
Выбери порядок, по которому будешь перечислять варианты: например, сначала закрепляй первую цифру, а затем перебирай остальные. Отмечай уже рассмотренное и проверяй, что каждый допустимый случай встретился ровно один раз.
Может ли у одного ряда быть несколько правил продолжения?
Да. По нескольким известным членам иногда подходят разные правила, которые дают разные следующие числа. Поэтому в задаче стоит выбирать правило, согласующееся со всеми данными и соответствующее формулировке.
Почему одного контрпримера достаточно для опровержения?
Общее утверждение должно быть верным для каждого случая. Если найден хотя бы один допустимый случай, в котором оно неверно, утверждение уже не является всеобщим.
Как догадаться, какое свойство может быть инвариантом?
Посмотри, что меняется при разрешённом действии, а что может сохраняться: например, чётность, остаток при делении или общий делитель. Проверь свойство на одном ходе и подумай, сможет ли оно отличить начальное состояние от требуемого.
Подумай!
