"Математика, изд. «ВИТА-ПРЕСС»", Александрова Э.И.
Натуральные числа, выражения и уравнения помогают записывать и решать математические задачи. Чтобы уверенно работать с числами, нужно понимать значение каждой цифры в разрядной записи, сравнивать числа по правилам и соблюдать порядок действий. Выражение показывает, какие вычисления нужно выполнить, а уравнение помогает найти неизвестное число. Проверка обратным действием или подстановкой позволяет заметить ошибку, а сопоставление ответа с условием — понять, подходит ли он для задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральное число — число, которое используют при счёте предметов: 1, 2, 3 и так далее. Натуральные числа записывают цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Само число 0 обычно не относят к натуральным числам. Эти числа нужны, чтобы считать предметы, обозначать их количество и сравнивать количества.
Разряд числа — место цифры в записи числа, которое определяет её значение. Например, в числе 444 одна и та же цифра обозначает 4 сотни, 4 десятка и 4 единицы. Поэтому при чтении числа важно учитывать не только цифры, но и их расположение. Разряды помогают записывать большие числа, читать их и сравнивать.
Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и, при необходимости, скобок. Например, 8 + 3 · 2 — выражение, значение которого можно вычислить. Выражение коротко описывает последовательность вычислений. В задачах оно помогает показать, как связаны известные данные и что нужно найти.
Уравнение — равенство, в котором есть неизвестное число, обозначенное буквой или окошком. Решить уравнение — значит найти такое значение неизвестного, при котором равенство становится верным. Например, в уравнении x + 5 = 12 неизвестное равно 7. Уравнения позволяют находить неизвестную величину, когда условие задачи задаёт связь между числами.
Разрядная запись позволяет увидеть, из каких частей составлено число: единиц, десятков, сотен и других разрядов. Цифра сама по себе сообщает только символ, а место показывает, сколько именно единиц данного разряда она обозначает. Например, число 3 в записи 3 406 означает три тысячи, а в числе 346 — три сотни. При сравнении поэтому нельзя рассматривать цифры отдельно: сначала сравнивают количество разрядов, а затем — соответствующие цифры слева направо.
Порядок действий нужен, чтобы одно и то же выражение все понимали одинаково. Если в выражении есть скобки, сначала вычисляют то, что заключено в них: скобки задают отдельный порядок. Затем выполняют умножение и деление, после них — сложение и вычитание; действия одного уровня идут слева направо. Например, в 6 + 2 · 3 сначала считают 2 · 3, потому что умножение выполняется раньше сложения. Изменить этот порядок можно только с помощью скобок.
Обратное действие помогает проверить вычисление, потому что оно отменяет исходное действие. Сложение проверяют вычитанием, вычитание — сложением, умножение — делением, а деление — умножением. Например, если 27 + 15 = 42, проверка 42 − 15 = 27 подтверждает результат. Такая проверка не заменяет аккуратные вычисления, но помогает обнаружить ошибку, если полученное число не возвращает исходные данные.
Чтобы перевести условие задачи в выражение или уравнение, сначала выясняют, что известно и что требуется найти. Если все нужные числа уже известны, их соединяют действиями, соответствующими смыслу условия; так получается числовое выражение. Если одна величина неизвестна, её обозначают буквой и записывают равенство, которое выражает связь из задачи. Смысл сохраняется, когда каждое действие отвечает на вопрос условия, а не выбирается только потому, что в тексте встретилось определённое слово.
Решение задачи объединяет несколько умений: выделить данные, понять вопрос, выбрать действия и оценить ответ. Сначала удобно записать известные числа и обозначить неизвестную величину, затем определить, как данные связаны между собой. После вычислений нужно проверить результат обратным действием или подстановкой и сопоставить его с условием. Например, ответ о числе предметов не может быть дробным, если речь идёт о целых предметах, а количество не может оказаться меньше уже известной части без объяснения задачи.
| Что рассматриваем | Что означает | Как действовать | Как проверить |
|---|---|---|---|
| Натуральное число | Количество предметов или порядковый счёт | Записать цифрами и прочитать по разрядам | Сверить запись с количеством или условием |
| Разрядная запись числа | Значение каждой цифры с учётом её места | Разложить число на разряды и сравнивать слева направо | Проверить количество цифр и значения разрядов |
| Числовое выражение | Запись вычислений с числами и знаками действий | Вычислить значение по правилам порядка действий | Повторить вычисление или применить обратное действие |
| Порядок действий | Правило, определяющее последовательность вычислений | Сначала скобки, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание | Сверить последовательность с правилом и пересчитать |
| Уравнение | Равенство с неизвестным числом | Найти значение, при котором равенство верно | Подставить найденное число в исходное равенство |
Таблица помогает выбрать подходящий способ: для выражения важен порядок вычислений, а для уравнения — проверка подстановкой. Сначала определите, какую запись вы рассматриваете, затем действуйте по соответствующей строке. Если проверка не подтверждает результат, вернитесь к тому шагу, где могли неверно прочитать разряд или выполнить действие.
Запишите число, в котором 5 тысяч, 0 сотен, 3 десятка и 8 единиц, и сравните его с числом 5 283. Нужно учесть каждый разряд: если сотен нет, их место всё равно занимает цифра 0. После записи сравним числа по разрядам, начиная с самого старшего. Такой порядок не позволяет принять одинаковые цифры за одинаковые значения.
Ответ: 5 038; 5 038 < 5 283.
Вычислите выражение (18 − 6) · 3 + 24 : 4. Здесь есть скобки, умножение, деление и сложение, поэтому выполнять всё подряд слева направо нельзя. Сначала найдём значение в скобках, затем выполним умножение и деление, а в конце сложим результаты. Такой разбор не даёт перепутать порядок действий.
Ответ: 42.
В коробке было несколько карандашей. После того как положили ещё 8 карандашей, стало 23. Сколько карандашей было сначала? Неизвестно начальное количество, поэтому обозначим его буквой x. Условие говорит, что к этому количеству прибавили 8 и получили 23; эту связь и запишем равенством.
Ответ: сначала в коробке было 15 карандашей.
При сравнении чисел иногда смотрят на цифры по отдельности и решают, что число с большей цифрой обязательно больше. Так происходит, если забыть, что значение цифры зависит от её разряда: например, 9 десятков больше 8 сотен неверно, хотя 9 больше 8. Сравнивайте количество цифр, затем идите слева направо по одинаковым разрядам. Для самопроверки назовите разряд первой различающейся цифры.
Другая ошибка — выполнять все действия строго слева направо. Так можно забыть, что умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, а скобки задают отдельный первый шаг. Перед вычислением отметьте скобки и разделите действия по их приоритету. После решения проверьте, не изменили ли вы выражение своим порядком действий.
Бывает, что ученик нашёл корень уравнения и сразу записал его как ответ задачи. Но это число может обозначать не то, о чём спрашивали, или не подходить к условию. Подставьте его в уравнение, а затем прочитайте задачу ещё раз и назовите величину с единицами измерения, если они есть. Такая проверка показывает, отвечает ли найденное число на поставленный вопрос.
Если не проверять вычисления обратным действием или подстановкой, ошибка может остаться незамеченной. Часто пропускают проверку из-за спешки или потому, что считают первый полученный результат верным. После сложения выполните проверку вычитанием, а решение уравнения подтвердите подстановкой. Если исходное число или равенство не восстанавливается, найдите шаг, в котором появилась ошибка.
Для работы с натуральными числами нужны навыки записи чисел и знание таблицы умножения, а также правил сложения, вычитания, умножения и деления. Без них трудно правильно вычислить выражение или проверить ответ обратным действием. Умение переводить условие в выражение и уравнение пригодится при изучении дробей и величин: меняются числа и обозначения, но смысл математической записи остаётся. Оно также помогает решать текстовые задачи, в которых важно связать данные с вопросом.
Почему одинаковая цифра может обозначать разные значения?
Значение цифры зависит от её места, то есть разряда. Например, в числе 505 первая цифра 5 обозначает пять сотен, а последняя — пять единиц.
Как быстро понять, какое из двух натуральных чисел больше?
Сначала сравните количество цифр: число с большим количеством цифр больше. Если цифр поровну, сравнивайте числа слева направо и остановитесь на первом разряде, где цифры различаются.
В каком порядке выполнять действия в выражении?
Сначала выполняют действия в скобках. Затем умножение и деление, а после них сложение и вычитание; действия одного уровня выполняют слева направо.
Как проверить, правильно ли решено уравнение?
Подставьте найденное число вместо неизвестного в исходное уравнение. Если после вычислений получается верное равенство, решение подходит.
Зачем составлять уравнение по условию задачи?
Уравнение связывает неизвестное число с данными условия задачи с помощью равенства. Решив его, можно найти неизвестное, а подстановка и проверка условия помогают убедиться, что ответ имеет смысл.
Подведём первые итоги
