"Математика, изд. «ВИТА-ПРЕСС»", Александрова Э.И.
Решение текстовой задачи — это путь от описанной словами ситуации к числовому ответу. Чтобы пройти его без догадок, нужно выделить известные данные и вопрос, понять связи между величинами и представить их в виде схемы, выражения или уравнения. Такая математическая модель помогает выбрать подходящие действия и не потерять смысл условия во время вычислений. В конце проверяют, подходит ли результат к ситуации и отвечает ли он на вопрос, а ответ записывают с единицей измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая модель — запись ситуации с помощью чисел, выражений, равенств или уравнений. Она переводит условие на язык математики и показывает, какие действия связывают данные с неизвестным. По модели можно вычислять или находить неизвестное, не теряя смысл задачи.
Краткая запись — схема или запись данных и связей между ними. В ней можно указать, что известно о каждой величине и что нужно найти. Такая запись помогает увидеть устройство условия и заметить, какие данные относятся друг к другу.
Уравнение — равенство с неизвестным, значение которого требуется найти. Неизвестное обычно обозначают буквой, а остальные части уравнения записывают согласно условию задачи. Уравнение удобно, когда неизвестная величина связана с известными данными через равенство.
Проверка решения — сопоставление полученного ответа с условием и вопросом задачи. Нужно убедиться, что найденное число подходит к описанной ситуации и обозначает именно то, что спрашивали. Даже верные вычисления могут привести не к ответу на вопрос, если задача была понята неверно.
Сначала прочитай условие целиком, а затем выдели известные данные, неизвестное и вопрос. Это нужно потому, что отдельные числа сами по себе ещё не подсказывают, что с ними делать: важны величины, к которым они относятся, и связи между ними. Перескажи задачу своими словами и проверь, все ли существенные сведения учтены. Если вопрос неясен, вернись к условию до начала вычислений.
Чтобы увидеть связи между величинами, представь их краткой записью, таблицей, схемой или рисунком. Например, можно расположить рядом известное количество предметов и неизвестное, а стрелками отметить, что изменилось или сравнивается. Такая запись нужна не для украшения: она помогает отличить целое от частей, цену от количества и исходное значение от изменённого. Выбирай форму, которую легко прочитать и проверить.
Способ решения зависит от строения задачи. Если величины прямо связаны последовательными действиями, часто удобно выполнить арифметические действия; если нужно показать цепочку вычислений, можно записать выражение. Уравнение выбирают, когда неизвестное входит в равенство, которое описывает условие. Сравни варианты и выбери тот, в котором ясно, почему каждое действие относится к задаче.
Математическую модель составляют, устанавливая связь между данными и неизвестным. Сначала выясни, как величины связаны между собой, затем запиши эту связь подходящим способом: выражением, равенством или уравнением. Например, если известно общее количество и связь между двумя частями, уравнение должно выражать именно это общее количество. Модель должна отражать условие точно, иначе даже правильное решение уравнения не даст верного ответа.
Вычисляй последовательно и следи за тем, что означает каждый промежуточный результат. После вычислений проверь ответ по условию: подставь его в найденную связь или оцени, возможен ли такой результат в описанной ситуации. Затем ответь на вопрос задачи полным предложением и укажи единицу измерения, если она предусмотрена. Так вычисление превращается в законченный ответ, который можно сопоставить с исходной ситуацией.
| Этап | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Понять условие | Прочитать задачу и выяснить, о каких величинах идёт речь. | Не подменять смысл условия отдельными числами или словами. |
| Выделить данные и вопрос | Отметить известные сведения и определить, что требуется найти. | Не пропустить важные данные и точно понять вопрос. |
| Представить связи между величинами | Сделать краткую запись, таблицу, схему или рисунок. | Показать, как величины сравниваются или изменяются. |
| Составить математическую модель | Записать связь с помощью действий, выражения, равенства или уравнения. | Каждая запись должна следовать из условия. |
| Выполнить решение | Провести вычисления или решить составленное уравнение. | Понимать смысл каждого действия и промежуточного результата. |
| Проверить результат и записать ответ | Сопоставить найденное значение с условием и ответить на вопрос. | Указать подходящую единицу измерения. |
Пользуйся таблицей как планом: переходи к следующему этапу, когда понятно, что получено на предыдущем. Если при проверке ответ не подходит, вернись к модели и выясни, где потерялась связь между данными. Такой порядок помогает заметить ошибку до того, как решение будет закончено.
Задача. В коробке было 18 карандашей. Взяли 7 карандашей. Сколько осталось? Нужно найти количество после того, как часть предметов убрали, поэтому сравниваем исходное число и взятое. Запись 18 − 7 отражает это изменение.
Ответ: осталось 11 карандашей. Проверка по смыслу нужна потому, что результат, превышающий первоначальное число, не соответствовал бы этой ситуации.
Задача. За 3 одинаковые тетради заплатили 90 рублей. Сколько стоят 5 таких тетрадей? Тетради одинаковые, поэтому сначала можно найти цену одной тетради, а затем использовать её для пяти. Здесь важно не перепутать цену одной тетради и стоимость нескольких.
Ответ: 5 тетрадей стоят 150 рублей. Такой ответ соответствует вопросу о стоимости пяти тетрадей, а не одной.
Задача. В двух коробках 54 шара. В первой коробке шаров в 2 раза больше, чем во второй. Сколько шаров в каждой коробке? Обозначим число шаров во второй коробке через x. Тогда в первой коробке 2x, а в обеих вместе — 54.
Ответ: в первой коробке 36 шаров, во второй — 18 шаров. Проверка подтверждает и общее количество, и соотношение между коробками.
Начинать вычисления до выяснения вопроса и связей между данными. Тогда можно получить правильное число, которое отвечает на другой вопрос, потому что действие выбрано наугад. Такое часто случается, когда решающий сразу цепляется за первое встретившееся число. Перед вычислениями сформулируй, что именно ищешь, и покажи, какие данные помогут это найти.
Составлять уравнение, не объяснив, что обозначает неизвестное. Без пояснения легко перепутать величины или записать их в обратном отношении. Ошибку допускают, когда начинают писать уравнение, не представив ситуацию словами или схемой. Подпиши неизвестное и после составления уравнения проверь, можно ли прочитать его части в соответствии с условием.
Переставлять данные или выбирать действие только по словам «больше» и «меньше». Эти слова не всегда прямо указывают, какое действие нужно выполнить: важно, какие величины сравниваются и что требуется найти. Например, «в 2 раза больше» описывает отношение, а не увеличение на 2. Составь краткую запись и проверь, совпадает ли выбранное действие с этой связью.
Записывать число без единицы измерения или не проверять ответ. Тогда непонятно, что именно найдено, а противоречащий условию результат может остаться незамеченным. Это часто происходит, если считать задачу законченной сразу после вычисления. Сверь ответ с вопросом и условием, а затем допиши нужную единицу: например, рубли, карандаши или километры.
Для решения задач нужны умения выполнять арифметические действия с натуральными числами и понимать смысл выражений и равенств. Без них трудно правильно записать модель и выполнить вычисления, даже если связи в условии найдены верно. Поэтому при затруднении полезно отдельно проверить вычисления и смысл используемых записей.
Краткая запись опирается на навыки чтения условия, сравнения величин и представления данных в таблице или схеме. Чем точнее ученик различает, что известно и как величины связаны, тем легче выбрать способ решения. Эти навыки помогают упорядочить информацию и в задачах, где много данных.
Перевод условия в уравнение пригодится при изучении линейных уравнений, пропорций и задач на движение. В таких темах тоже нужно выразить связь между величинами, только записи могут стать сложнее. Привычка объяснять смысл неизвестного и проверять полученный результат останется полезной.
С чего начинать решение текстовой задачи?
Сначала прочитай условие и выясни, какие величины известны и что требуется найти. Затем найди связи между величинами: они подскажут, как записать условие и выбрать способ решения.
Когда удобнее использовать краткую запись или схему?
Они полезны, когда в задаче несколько величин или нужно сравнить их между собой. Краткая запись, таблица или схема помогает увидеть, какие данные относятся друг к другу и что ещё предстоит найти.
Как понять, какое уравнение составить по условию?
Обозначь неизвестное и объясни, какую величину оно показывает. Затем вырази через него остальные связанные величины и запиши равенство, которое следует из условия, например равенство общей сумме.
Как проверить, что найденное число подходит?
Подставь найденное значение в исходную связь или выполни проверочные вычисления. Убедись, что результат не противоречит условию и отвечает именно на поставленный вопрос.
Нужно ли записывать единицы измерения в ответе?
Да: единица показывает, что именно измеряет найденное число, например рубли, карандаши или километры. Проверь также, что единица соответствует вопросу задачи.
Решение задач
