§ 2. Оси симметрии фигур

Определения и обозначения

Ось симметрии фигуры — прямая, относительно которой фигура симметрична и которая делит её на две зеркально равные части. Если мысленно отразить одну часть через эту прямую, она совпадёт с другой. Это понятие помогает проверять, одинаково ли устроены обе стороны фигуры.

Симметрия относительно прямой — преобразование, при котором каждой точке фигуры соответствует точка по другую сторону прямой на таком же расстоянии. Прямую, относительно которой выполняется отражение, называют осью. Такое правило позволяет точно находить положение каждой отражённой точки.

Симметричные точки — две точки, расположенные по разные стороны от оси на одинаковом расстоянии, причём отрезок между ними перпендикулярен оси. Значит, ось проходит через середину этого отрезка под прямым углом. Это определение нужно для построения отражённой точки.

Симметричная фигура — фигура, которая при отражении относительно некоторой прямой совмещается сама с собой. Каждая её точка после отражения попадает на точку той же фигуры. Так можно определить, имеет ли фигура ось симметрии.

Как это устроено

Ось делит фигуру на две зеркально совпадающие части не просто потому, что проходит посередине. При отражении каждой точке одной части должна соответствовать точка другой части, а расстояния и форма сохраняются. Поэтому стороны, углы и контуры обеих частей совпадают после отражения. Если хотя бы один участок не совпадает, выбранная прямая не является осью.

Чтобы построить точку, симметричную данной относительно прямой, сначала нужно найти кратчайшее расстояние от точки до прямой. Кратчайший отрезок от точки до прямой перпендикулярен ей, поэтому через исходную точку проводят перпендикуляр к оси. Затем продолжают его на другую сторону и откладывают от оси такое же расстояние. Полученная точка будет зеркальным образом исходной.

Точки, лежащие на оси, при отражении остаются на месте, потому что расстояние от каждой такой точки до оси равно нулю. Для неё нет другой точки по другую сторону на таком же расстоянии: это была бы она сама. Если точка находится не на оси, её отражение расположено на другой стороне. Это объясняет, почему ось служит границей между двумя зеркальными частями.

Найти ось можно, сложив или перегнув бумажную фигуру так, чтобы её части наложились. Линия сгиба и будет осью, если после перегибания контуры совпадают полностью. Для фигуры, которую нельзя перегнуть, мысленно отражают её части или проверяют соответствие точек на равных расстояниях. Простого деления пополам недостаточно: части должны совпадать зеркально.

У разных фигур число осей различается, потому что их стороны и углы устроены по-разному. Чем больше у фигуры одинаковых частей, расположенных зеркально, тем больше прямых могут совместить её с собой. У некоторых фигур подходит только одна прямая, у других — несколько. Если ни одно отражение не возвращает фигуру в исходное положение, осей у неё нет.

Оси симметрии основных плоских фигур

Сначала проверьте, к какому виду относится фигура: особые свойства могут изменить число осей. Затем представьте отражение относительно каждой подходящей прямой и проверьте, совпадут ли части. Например, квадрат одновременно является прямоугольником и ромбом, поэтому у него четыре оси, а не только две.

Разбор задач

Задача 1. Построить точку, симметричную точке A относительно заданной прямой l. Требуется найти точку A′, чтобы прямая l была осью симметрии отрезка AA′. Важно не только отложить равное расстояние, но и выбрать правильное направление.

1. Проведём через A перпендикуляр к прямой l и обозначим точку пересечения с ней буквой H.
2. Измерим расстояние AH. От точки H по тому же перпендикуляру, но по другую сторону от l, отложим отрезок такой же длины.
3. Конец отложенного отрезка обозначим A′. Проверим: AH = HA′, а AA′ перпендикулярен l.

Эти условия означают, что l проходит через середину AA′ под прямым углом. Поэтому точки A и A′ симметричны относительно l. Ответ: искомая точка — A′.

Задача 2. Указать все оси симметрии квадрата, ромба и прямоугольника. Не следует считать осью каждую диагональ только потому, что она делит фигуру на треугольники. Проверим, будут ли части зеркально совпадать при отражении.

1. У квадрата проведём две прямые через середины противоположных сторон. Они делят квадрат на равные зеркальные половины.
2. Добавим две диагонали: каждая отражает квадрат на себя, потому что все стороны квадрата равны. Всего у квадрата четыре оси.
3. У обычного ромба проверим диагонали: каждая делит углы пополам и отражает одну половину ромба в другую. У прямоугольника работают две прямые через середины противоположных сторон, но его диагонали не совмещают части, если он не квадрат.

Ответ: у квадрата четыре оси, у обычного ромба две диагонали, у прямоугольника две оси через середины противоположных сторон.

Задача 3. Фигура — четырёхугольник с двумя осями симметрии, которые проходят по его диагоналям. Какую фигуру можно предположить? Нужно сопоставить расположение осей с тем, какие стороны и углы должны совпадать при отражении.

1. Если диагонали служат осями, то отражение относительно каждой из них должно менять местами части фигуры, не изменяя её контур.
2. У ромба диагонали делят его углы пополам, а противоположные стороны равны. Поэтому отражение относительно диагонали совмещает половины ромба.
3. Проверим, подходит ли квадрат: это частный случай ромба, но у него есть ещё две оси через середины противоположных сторон. Если указано ровно две оси, вероятнее всего, речь об обычном ромбе.

Ответ: можно предположить, что это ромб, не являющийся квадратом. По одному числу осей фигуру не всегда удаётся определить однозначно, поэтому для строгого вывода нужны дополнительные сведения о сторонах и углах.

Типичные ошибки

Считать любую диагональ осью симметрии. Диагональ может соединять противоположные вершины, но это не гарантирует зеркального совпадения частей. Так думают, потому что диагональ часто делит многоугольник на два треугольника. Проверьте, совпадут ли при отражении стороны и углы: у обычного прямоугольника диагональ осью не является.

Путать ось с линией, которая просто делит фигуру пополам. Равенство площадей частей ещё не означает, что их контуры зеркально совпадают. Ошибка возникает, когда смотрят только на площадь или положение линии. Проверьте совпадение каждой части при мысленном отражении или перегибании.

Откладывать расстояние до симметричной точки не перпендикулярно оси. Тогда отрезок между точками не будет иметь ось своей серединой, и отражение окажется построено неверно. Можно ошибиться, если отмерять расстояние на глаз в любом направлении. Проверьте, что соединяющий отрезок перпендикулярен оси, а расстояния от его концов до оси равны.

Утверждать, что у любого параллелограмма есть ось. Параллельность противоположных сторон сама по себе не создаёт зеркального совпадения частей. Эту ошибку допускают, принимая поворотную симметрию параллелограмма за отражение. Чтобы проверить ответ, отразите фигуру относительно предполагаемой прямой: у произвольного параллелограмма она не совместится сама с собой.

Связь с другими темами

Для работы с осями симметрии нужны понятия прямой, перпендикуляра, расстояния от точки до прямой, а также виды треугольников и четырёхугольников. Построение симметричной точки связано с геометрическими построениями: нужно провести перпендикуляр и отложить равные отрезки. Позже симметрия поможет изучать координатные преобразования и другие геометрические преобразования. Её также используют при создании орнаментов и решении задач о свойствах фигур.

Что запомнить

• Ось симметрии отражает фигуру саму на себя.
• Симметричные точки находятся на равных расстояниях от оси.
• Отрезок между симметричными точками перпендикулярен оси.
• Точки, лежащие на оси, при отражении не перемещаются.
• У фигуры может быть одна, несколько или ни одной оси симметрии.
• Количество осей симметрии зависит от свойств и формы фигуры.