"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Бесконечную десятичную запись часто заменяют конечной дробью, с которой удобнее считать и записывать результаты измерений. Такая дробь называется десятичным приближением: она близка к исходному числу, но может быть немного меньше или больше него. Сторону приближения определяют сравнением, а его точность связывают с разрядом последней записанной цифры. Например, при точности до сотых ошибка меньше 0,01.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Десятичное приближение числа — конечная десятичная дробь, значение которой близко к данному числу. Например, число 2/3 записывается бесконечно: 0,666…; вместо этой записи удобно использовать 0,67. Приближение помогает выполнять вычисления и записывать результаты измерений, не выписывая бесконечно много цифр.
Приближение с недостатком — десятичное приближение, которое меньше исходного числа. Например, 0,66 меньше 2/3, поэтому это приближение с недостатком. Такое название подсказывает, что записанное значение немного «не дотягивает» до исходного.
Приближение с избытком — десятичное приближение, которое больше исходного числа. Так, 0,67 больше 2/3, значит, оно дано с избытком. Понимание этой разницы позволяет выбрать нижнюю и верхнюю границы, между которыми находится число.
Точность приближения показывает, насколько большой может быть ошибка, то есть разница между приближением и исходным числом. Например, точность до сотых означает, что ошибка меньше одной сотой, то есть меньше 0,01. Это помогает понять, достаточно ли близка выбранная дробь для задачи.
Некоторые числа нельзя удобно записать конечной десятичной дробью: после запятой цифры продолжаются бесконечно. Если выписывать их все, запись не закончится, а вычисления станут неудобными. Поэтому используют конечное приближение, но помнят, что оно может отличаться от исходного числа.
Чтобы получить десятичную запись дроби, делят числитель на знаменатель. Например, деление 2 на 3 даёт 0,666…; если оставить несколько цифр, получится конечная запись. Количество сохранённых знаков выбирают по условию: для десятых оставляют один знак после запятой, для сотых — два.
Оставленная дробь может оказаться меньше или больше исходного числа, и это нельзя определить только по числу знаков. Нужно сравнить значения: если приближение меньше исходного числа, оно с недостатком; если больше — с избытком. Такое сравнение особенно важно, когда требуется указать границы, между которыми лежит число.
Разряд последней сохранённой цифры показывает, до какого разряда записано приближение: например, в 3,4 цифра 4 стоит в разряде десятых, а в 3,47 цифра 7 — в разряде сотых. Однако сам по себе разряд ещё не доказывает, что ошибка достаточно мала. Для проверки сравнивают исходное число с приближением и убеждаются, что разница меньше требуемой точности.
Приближения с недостатком и избытком можно подобрать так, чтобы исходное число оказалось между ними. Для этого находят соседние десятичные дроби нужного разряда, одна из которых меньше числа, а другая больше. Например, 2/3 расположено между 0,66 и 0,67, поэтому эти сотые дают нижнюю и верхнюю границы.
| Что сравниваем | Значение | Отношение к 2/3 |
|---|---|---|
| Исходное число | 2/3 = 0,666… | — |
| Приближение с недостатком | 0,66 | меньше 2/3 |
| Приближение с избытком | 0,67 | больше 2/3 |
| Точность до сотых | 0,01 | разница между соседними сотыми |
Сначала найди строку с исходным числом, затем сравни с ним соседние десятичные дроби. Значение ниже исходного будет приближением с недостатком, а выше — с избытком. Разность 0,01 показывает шаг между соседними сотыми.
Представьте дробь 3/8 в виде десятичной дроби и укажите приближение до десятых. Нужно сначала найти результат деления, а затем оставить один знак после запятой. При этом конечная запись может отличаться от точного значения.
Ответ: 3/8 = 0,375; приближение до десятых с недостатком — 0,3.
Укажите приближения числа 5/6 с недостатком и с избытком до сотых. Сначала найдём десятичную запись дроби, чтобы увидеть, между какими сотыми она находится. Затем проверим, какое из значений ниже, а какое выше исходного числа.
Ответ: 0,83 — приближение с недостатком, 0,84 — с избытком.
Число x заключено между 4,27 и 4,28. Определим, какое значение служит нижней, а какое верхней границей. Затем оценим возможную точность по расстоянию между этими соседними сотыми.
Ответ: 4,27 — с недостатком, 4,28 — с избытком; каждое из этих приближений имеет ошибку меньше 0,01, то есть подходит по точности до сотых.
Можно назвать приближение с недостатком, не сравнив его с исходным числом. Иногда кажется, что меньшая запись сразу очевидна, но это нужно проверить по значениям. Сравни числа: меньшее будет приближением с недостатком, большее — с избытком.
Ещё одна ошибка — путать количество цифр после запятой с названием разряда. Например, в числе 2,35 цифра 5 стоит в разряде сотых, а не десятых. Проверяй место цифры: первая после запятой — десятые, вторая — сотые, третья — тысячные.
Конечную запись бесконечной десятичной дроби иногда принимают за точное значение. Но после отброшенных цифр могут оставаться ненулевые цифры, поэтому значение меняется. Чтобы не ошибиться, обозначай такую запись как приближение и при необходимости сравнивай её с исходным числом.
Нельзя считать точностью до сотых величину 0,1: это одна десятая, а не одна сотая. Путаница возникает, если не учитывать разряд цифры после запятой. Для проверки назови разряд словами: десятые соответствуют 0,1, сотые — 0,01.
Для работы с приближениями нужно уметь сравнивать десятичные дроби и определять разряды цифр после запятой. Эти знания позволяют понять, где находится приближение относительно исходного числа и какую точность оно задаёт. Десятичную запись дроби получают делением числителя на знаменатель, поэтому пригодятся навыки деления натуральных чисел и дробей. Позже приближения помогут округлять результаты вычислений и записывать результаты измерений.
Что называют десятичным приближением числа?
Это конечная десятичная дробь, значение которой близко к исходному числу. Например, 0,67 — приближение числа 2/3.
Как понять, что приближение дано с недостатком?
Сравни приближение с исходным числом. Если приближение меньше, оно дано с недостатком: например, 0,66 < 2/3.
Чем приближение с избытком отличается от приближения с недостатком?
Приближение с избытком больше исходного числа, а с недостатком — меньше. Это определяют сравнением, а не по внешнему виду десятичной записи.
Как найти десятичное приближение дроби до сотых?
Раздели числитель на знаменатель и найди десятичную запись дроби. Затем выбери сотые, расположенные рядом с ней: одну ниже, другую выше, если нужны приближения с недостатком и избытком.
Что означает точность до десятых или до сотых?
Точность до десятых связана с величиной 0,1, а точность до сотых — с величиной 0,01. При такой точности возможная ошибка должна быть меньше соответствующей величины.
§ 2. Десятичные приближения
