17.1. Рассуждаем о точках и прямых

Определения и обозначения

Точка — геометрический объект, который задаёт место и не имеет размеров. Её обозначают заглавной латинской буквой, например A или M. На чертеже точку отмечают маленьким следом, чтобы её можно было увидеть. Название помогает точно указать место на рисунке.

Прямая — линия, у которой нет ни начала, ни конца. Её обозначают строчной латинской буквой, например a, или двумя заглавными буквами точек, лежащих на ней, например MN. На чертеже показывают только часть прямой, но мысленно её продолжают в обе стороны. Такое обозначение позволяет понять, о какой линии идёт речь.

Принадлежность точки прямой показывает, лежит ли точка на этой прямой. Запись A ∈ a читают: «точка A принадлежит прямой a», то есть находится на ней. Запись B ∉ a означает, что точка B на прямой a не лежит. Эти символы помогают коротко и точно описывать чертёж.

Пересекающиеся прямые — это прямые, имеющие общую точку. Общую точку называют точкой пересечения прямых. Если прямые a и b пересекаются в точке C, то C лежит и на a, и на b. Это понятие нужно, чтобы описывать взаимное положение линий.

Как это устроено

Точка не имеет размеров, потому что в геометрии она указывает только место. На бумаге же совсем невидимую точку нельзя было бы найти, поэтому её отмечают небольшим следом карандаша или ручки. Прямая бесконечна, а лист бумаги имеет края, поэтому целиком изобразить её тоже нельзя. Нарисованную линию считают частью прямой и мысленно продолжают в обе стороны.

Точки называют заглавными латинскими буквами, а прямые часто — строчными. Например, A может быть точкой, а a — прямой; разница в регистре, то есть в размере буквы. Прямую можно назвать и по двум точкам, которые на ней лежат: MN. Так делают, когда нужно связать линию с отмеченными на ней точками. Следи за буквами: иначе можно перепутать объект, который описывают.

Чтобы проверить принадлежность, сначала найди на чертеже нужную точку и прямую, а затем посмотри, лежит ли точка точно на линии. Если лежит, используют символ ∈, похожий на знак принадлежности; если нет — ∉. Например, A ∈ a говорит о точном совпадении положения точки с линией, а B ∉ a — о том, что B находится вне неё. Близость к линии сама по себе не означает принадлежность.

Через любые две различные точки проходит единственная прямая. Две точки задают направление линии: если бы через них проходили две разные прямые, у этих прямых были бы две общие точки. Но через две различные точки можно провести только одну прямую. Её обозначают строчной буквой или буквами этих точек, например прямую через M и N называют MN.

Две различные прямые могут быть расположены так, что не встретятся, или пересечься в одной точке. Если они пересеклись, место встречи видно как общая точка; её называют точкой пересечения. Двух общих точек у разных прямых быть не может: через две точки проходит только одна прямая, значит, линии тогда совпали бы. На чертеже прямые изображают конечными отрезками, поэтому их продолжение тоже нужно учитывать.

Точки и прямые: обозначения и взаимное расположение

Сначала найди в таблице нужный объект или отношение, затем посмотри на запись и её значение. При чтении чертежа сверяй обозначение с тем, где именно расположены точки и линии. Так можно не спутать название прямой с записью о принадлежности.

Разбор задач

Задача 1. Принадлежность точки прямой

На рисунке отмечены точка A и прямая a. Определите, лежит ли A на a, и запишите результат символом. Для ответа нужно исследовать именно положение точки, а не расстояние между ней и линией. Выберем запись, которая соответствует чертежу.

1. Найдём прямую a и точку A на рисунке.
2. Проверим, поставлена ли отметка A точно на линии a. Если да, точка принадлежит прямой; если в стороне — не принадлежит.
3. Для принадлежности запишем A ∈ a, а для отсутствия принадлежности — A ∉ a.

Ответ: используйте A ∈ a, если A лежит на линии, и A ∉ a, если не лежит. Без самого чертежа выбрать одну из этих записей нельзя. Такая проверка помогает не делать вывод только по близости точки к прямой.

Задача 2. Прямая через две точки

Проведите прямую через точки M и N и обозначьте её двумя способами. Считаем, что M и N — различные точки. Нужно назвать одну и ту же линию по буквам и ещё одним обозначением, если оно задано. Свойство двух точек гарантирует, что линия будет единственной.

1. Приложим линейку так, чтобы её край проходил через M и N.
2. Проведём линию и мысленно продолжим её за обе точки в обе стороны.
3. Обозначим эту прямую буквами точек MN. Если прямой присвоена строчная буква, например a, второе обозначение будет a.

Ответ: полученная прямая — MN; если ей назначена буква a, её можно обозначить также a. Важно, что MN и NM называют одну и ту же прямую, потому что порядок точек не меняет линию. Единственность означает, что другую прямую через M и N провести нельзя.

Задача 3. Точки на двух прямых

На рисунке изображены прямые a и b и точки A, B, C. Установите, какие точки принадлежат каждой прямой, найдите точку пересечения и запишите отношения обозначениями. Точное распределение зависит от рисунка, поэтому сначала внимательно проверим каждую точку. Не будем считать точку общей только потому, что она расположена рядом с линией.

1. Для A проверим отдельно положение относительно a и относительно b; повторим такую же проверку для B и C.
2. Каждый раз, когда точка лежит на прямой, запишем соответствие со знаком ∈; если не лежит — со знаком ∉.
3. Найдём точку, которая лежит одновременно на a и b. Она и будет точкой пересечения; если общей точки нет, прямые не пересекаются.
4. Запишем все проверенные отношения, например A ∈ a или B ∉ b, и обозначим пересечение буквой найденной общей точки.

Ответ: запишите пары «точка — прямая» по результатам проверок и назовите общую точку прямых, если она есть. Без изображения нельзя определить, какие именно из A, B и C лежат на a или b. Проверка каждой пары отдельно помогает не пропустить ни принадлежность, ни непринадлежность.

Типичные ошибки

Ошибка — считать нарисованный кусок линии всей прямой. На листе линия обрывается у края или просто нарисована коротко, поэтому можно забыть, что прямая продолжается. Проверь себя: мысленно продли её в обе стороны и не называй концы чертежа концами прямой.

Ошибка — путать заглавные и строчные буквы в обозначениях. Её допускают, потому что буквы похожи, особенно при быстром чтении. Проверь себя: точки обычно названы заглавными буквами, например A, а прямые — строчными, например a.

Ошибка — считать, что точка рядом с линией обязательно лежит на ней. На небольшом чертеже расстояние бывает трудно разглядеть, и глаз может ошибиться. Проверь, поставлена ли отметка точки точно на линии; если положение неясно, не делай вывод только по близости.

Ошибка — полагать, что две разные прямые могут иметь две общие точки. Такое впечатление возникает, если чертёж выполнен неточно или линии проведены толсто. Проверь рассуждение: через две разные точки проходит только одна прямая, поэтому две общие точки означали бы, что прямые совпадают.

Связь с другими темами

Для работы с точками и прямыми нужно различать геометрическое изображение и настоящий предмет: нарисованная линия лишь показывает математический объект. Линейка помогает проводить линии, а знание латинских букв — читать обозначения. Эти основы пригодятся при изучении отрезков, лучей и углов, а также при построении фигур. Умение определять пересечения поможет разбирать чертежи и задачи о взаимном расположении фигур.

Что запомнить

• Точку обозначают заглавной латинской буквой.
• Прямую обозначают строчной буквой или двумя точками на ней.
• Запись A ∈ a означает, что точка A лежит на прямой a.
• Запись A ∉ a означает, что точка A не лежит на прямой a.
• Через две различные точки проходит единственная прямая.
• Две различные прямые пересекаются не более чем в одной точке.