27. Геометрия клетчатой бумаги

Определения и обозначения

Клетчатая бумага — бумага, на которой нанесена сетка из одинаковых квадратов. Она помогает строить фигуры аккуратно и сравнивать их размеры по клеткам. На такой сетке легче заметить, где находятся вершины и как части фигуры расположены друг относительно друга.

Клетка — один квадрат сетки. Его сторону можно принять за единицу длины, а площадь квадрата — за единицу площади. Благодаря этому расстояния и площади можно выражать числами, не выбирая каждый раз линейку или другую меру.

Узел сетки — точка, в которой пересекаются линии клетчатой бумаги. Вершины многих фигур удобно помещать именно в узлы, потому что их положение легко задать и проверить по сетке. Сам узел не имеет длины: при измерении важны промежутки между узлами.

Ломаная — последовательность отрезков, у которой конец одного отрезка соединён с началом следующего. Каждый отдельный отрезок называют звеном, а длиной ломаной — сумму длин всех её звеньев. Поэтому длина всей ломаной не равна длине одного звена, даже если некоторые звенья направлены одинаково.

Как это устроено

Сначала договоримся, что сторона клетки равна одной единице длины. Тогда можно считать, сколько таких сторон укладывается вдоль нужного расстояния, и записывать результат в клеточных единицах. Для площади используют квадратные единицы: одна клетка занимает одну такую единицу, потому что её стороны равны единице длины. Это различие помогает не смешивать измерение отрезков и измерение поверхности фигуры.

Если отрезок проходит по горизонтальной или вертикальной линии сетки, его длину находят подсчётом клеток между концами. Например, от одного узла до соседнего проходит одна клетка, а до следующего после него — две. Считать нужно промежутки, а не точки: узлы отмечают границы отрезка, но сами не добавляют ему длину. Такой способ удобен, когда отрезок точно совпадает с линиями сетки.

Чтобы изобразить фигуру, отметь её вершины в нужных узлах и соедини их отрезками. Если несколько отрезков соединены последовательно, получится ломаная; её звенья могут идти в разных направлениях. Наклонное звено тоже можно провести между узлами, но его длина не равна только числу клеток по горизонтали или вертикали. Её следует сравнить с другими отрезками по рисунку или измерить линейкой, если точная длина нужна в обычных единицах.

У фигуры, составленной из целых клеток, площадь находят простым подсчётом этих клеток. Если часть клетки входит в фигуру, не следует автоматически считать её целой: несколько неполных частей могут сложиться в одну или несколько целых клеток. Например, одинаковые половины клеток можно объединить попарно. Если части отличаются, удобнее сначала разрезать фигуру на более простые участки и посчитать их отдельно.

Сложный контур не всегда удобно считать клетка за клеткой. Можно мысленно или на рисунке провести линии и разделить фигуру на прямоугольники и треугольники, затем найти площадь каждой части и сложить результаты. Другой способ — дополнить фигуру до прямоугольника, площадь которого легко найти, а затем вычесть площади участков снаружи. Этот приём работает, когда все добавленные части можно отдельно измерить по сетке.

Что можно измерить на клетчатой бумаге

Сначала определи, что именно нужно найти: длину или площадь. Затем выбери подходящий способ из таблицы и проверь, что ты считаешь клетки либо промежутки между ними. Если в фигуре есть неполные клетки, используй разбиение или объединение частей, а не приблизительный подсчёт.

Разбор задач

Задача 1. На клетчатой бумаге проведён отрезок вдоль линий сетки. Его концы отстоят друг от друга на 7 клеток по горизонтали. Найдите длину отрезка в клеточных единицах.

1. Сторона одной клетки принята за единицу длины.
2. Отрезок идёт вдоль линий сетки, поэтому между его концами можно прямо сосчитать клетки.
3. Между концами помещается 7 клеток, значит, длина отрезка равна 7 клеточным единицам.

Ответ: 7 клеточных единиц. Здесь считаются промежутки-клетки: если отметить границы отрезка узлами, их будет на один больше, чем промежутков.

Задача 2. Ломаная состоит из трёх звеньев, каждое из которых идёт вдоль линий сетки. Их длины равны 3, 4 и 2 клеткам. Найдите длину ломаной.

1. Ломаная складывается из трёх звеньев, поэтому нужно учесть каждое из них.
2. Сложим данные длины: 3 + 4 + 2 = 9.
3. Полученное число показывает общую длину пути по всем звеньям, независимо от направления каждого звена.

Ответ: 9 клеточных единиц. Для проверки можно пройти по ломаной последовательно и убедиться, что длины всех трёх звеньев учтены один раз.

Задача 3. На клетчатой бумаге изображён многоугольник с наклонными сторонами. Найдите его площадь, дополнив рисунок до прямоугольника площадью 24 клетки и вычтя площади двух внешних треугольников площадью 4 и 3 клетки.

1. Представим, что к многоугольнику добавили два внешних треугольника, и вместе они образовали прямоугольник.
2. Площадь прямоугольника равна 24 квадратным единицам, а добавленные части имеют площади 4 и 3 квадратные единицы.
3. Вычтем площадь обеих лишних частей: 24 − 4 − 3 = 17.

Ответ: 17 квадратных единиц. Вычитание подходит, потому что два треугольника находятся снаружи многоугольника и не входят в его площадь.

Типичные ошибки

Одна ошибка — считать узлы вместо промежутков между ними. Так происходит, потому что узлы хорошо заметны, и кажется, что их число и есть длина. Проверь себя: между двумя соседними узлами ровно одна клетка, поэтому при четырёх промежутках отрезок имеет длину четыре, а не пять.

При подсчёте площади иногда каждую неполную клетку принимают за целую. Это завышает ответ, ведь часть клетки может занимать меньше места, чем целая клетка. Проверь результат: попробуй объединить части в целые клетки или разделить фигуру на участки, площадь которых можно посчитать точнее.

При нахождении длины ломаной можно сложить только горизонтальные или только вертикальные звенья и забыть об остальных. Ошибку легко допустить, если считать по отдельным направлениям, а не пройти всю ломаную. Проверь себя по рисунку: у каждого звена должен быть свой вклад в сумму длин.

Наклонный отрезок иногда измеряют только по тому, на сколько клеток он сместился вправо, влево, вверх или вниз. Это показывает его перемещение по отдельным направлениям, но не всю длину наклонной линии. Проверь себя линейкой или сравнением с подходящей мерой: наклонный отрезок соединяет концы напрямую и обычно не равен пути сначала по горизонтали, а потом по вертикали.

Связь с другими темами

Для работы с клетчатой бумагой нужно уметь считать клетки и промежутки между точками, различать длину и площадь, а также находить площадь прямоугольника. Эти знания помогают выбрать правильную единицу измерения и не перепутать ответ, например, в клеточных единицах с ответом в квадратных единицах. Сетка пригодится при построении и исследовании фигур, решении задач на площади и знакомстве с координатной плоскостью. На координатной плоскости по сетке тоже удобно находить положение точек и видеть, как они связаны друг с другом.

Что запомнить

• Сторону клетки можно принять за единицу длины.
• Площадь одной клетки равна одной квадратной единице.
• Длину отрезка вдоль линий сетки находят подсчётом клеток между его концами.
• Длина ломаной равна сумме длин всех её звеньев.
• Площадь фигуры можно находить подсчётом клеток или разбиением на более простые части.
• Неполные клетки нужно объединять или учитывать отдельно.