3. Простейшие геометрические фигуры

Определения и обозначения

Точка — точное место на плоскости. Её обозначают заглавной латинской буквой, например A или B. На рисунке точку изображают маленькой отметкой, но это только условный знак: сама точка не имеет ни длины, ни ширины. Так удобно называть и различать места на чертеже.

Прямая — линия, которая не имеет концов и продолжается бесконечно в обе стороны. Её можно обозначить строчной латинской буквой, например a, или двумя заглавными буквами точек на ней: AB. Прямая нужна, чтобы показывать направление и связь между точками.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками-концами. Его обозначают буквами концов, например AB; длину отрезка тоже называют по этим буквам и измеряют линейкой. Отрезки помогают сравнивать расстояния между точками.

Луч — часть прямой, у которой есть начальная точка, а дальше она продолжается в одном направлении без конца. Луч AB обозначают двумя заглавными буквами: первой пишут начало A, второй — точку B, указывающую направление. Лучом удобно показывать движение от заданной точки в одну сторону.

Как это устроено

Чтобы получить отрезок из прямой, выбирают на ней две точки: участок между ними вместе с концами и будет отрезком. Если оставить одну точку началом и взять направление вдоль прямой, получится луч. Так границы помогают выделить нужную часть бесконечной линии.

Прямая бесконечна, потому что у неё нет выделенных концов: её можно продолжать в обе стороны. У отрезка две границы, поэтому он заканчивается в каждой из них. У луча граница только одна — начало; второй конец не задаётся, иначе луч стал бы отрезком.

Точка принадлежит фигуре, если её отметка лежит на этой фигуре. Для отрезка проверяют, находится ли точка между его концами или совпадает с одним из них. Для луча учитывают начало и направление: точка должна лежать на его линии не позади начала. Поэтому одной близости к чертеже недостаточно — важно точное положение.

Через любые две различные точки можно провести прямую, и такая прямая будет только одна. Обе точки задают направление линии, поэтому другой прямой, проходящей через ту же пару точек, быть не может. Если бы точки совпали, направление определить было бы нельзя.

Чертёж показывает фигуру условно: на листе линия занимает конечное место, а точка выглядит как пятнышко. Обозначение и свойства важнее того, насколько длинной или толстой получилась черта. Поэтому прямую на рисунке часто заканчивают стрелками, а точку ставят маленькой отметкой — это подсказки, а не настоящий размер объектов.

Сравнение простейших геометрических фигур

Сначала найдите в таблице число концов, затем проверьте, куда может продолжаться фигура. Если нужно назвать фигуру, сверьте способ обозначения: у луча первая буква всегда указывает начало. Длина есть только у отрезка.

Разбор задач

Задача 1. На чертеже отмечены прямая a и точки A, B, C; нужно определить, какие точки лежат на прямой, а какие не принадлежат ей, и записать обозначение прямой. Предположим, что A и B стоят на линии, а C — вне её. Проверим положение каждой точки относительно самой линии, а не близость к ней.

1. Смотрим, совпадает ли отметка A с линией: да, значит, A принадлежит прямой.
2. Точка B также лежит на линии, поэтому принадлежит ей.
3. Отметка C находится вне линии, значит, C прямой не принадлежит.
4. Записываем название: прямая a; поскольку на ней лежат A и B, её также можно назвать прямой AB.

Ответ: A и B принадлежат прямой, C не принадлежит; обозначения — a и AB. Если на конкретном чертеже точки расположены иначе, нужно повторить проверку по их отметкам.

Задача 2. На одной прямой отмечены A, B и C, причём они расположены именно в таком порядке: A, затем B, затем C. Запишем отрезки и лучи, используя данные точки. У отрезка порядок букв не меняет концы, а у луча первая буква обязательно задаёт начало.

1. Выбираем пары точек для отрезков: AB, AC и BC.
2. Для лучей перебираем упорядоченные пары: AB, AC, BA, BC, CA и CB.
3. Замечаем, что AB и AC обозначают один и тот же луч из A, потому что B и C лежат в одном направлении от A.
4. Так же лучи CB и CA совпадают; BA и BC направлены в разные стороны и не совпадают.

Ответ: отрезки AB, AC, BC; лучи можно назвать AB, AC, BA, BC, CA, CB. Среди записей есть обозначения совпадающих лучей, поэтому названий больше, чем разных лучей.

Задача 3. На луче AB точки C и D расположены после начала A, но их взаимный порядок не указан. Нужно сравнить AC, AD и CD. Сначала отметим, что отрезок AD включает путь от A до одной из точек, однако без порядка C и D нельзя заранее решить, какой из AC и AD длиннее.

1. Если порядок точек A–C–D, то AD длиннее AC, а CD равно части AD, оставшейся после AC.
2. Если порядок A–D–C, то AC длиннее AD, а CD равно части AC, оставшейся после AD.
3. В обоих случаях больший из отрезков AC и AD длиннее CD.
4. Чтобы сравнить AC и CD между собой, нужно знать расстояния или увидеть точное расположение точек; одного факта, что они лежат на луче, недостаточно.

Ответ: по условию без указания порядка C и D нельзя определить, длиннее ли AC или AD. Больший из AC и AD длиннее CD; для полного сравнения нужны дополнительные сведения.

Типичные ошибки

Иногда прямую рисуют как линию с двумя концами, потому что переносят на неё свойства отрезка. В действительности на бумаге виден только фрагмент прямой. Проверьте себя: у прямой нет концов, а стрелки или продолжение линии за края чертежа напоминают об этом.

Другая ошибка — назвать луч двумя буквами, не указав начало первым, или поменять их местами. Так луч AB ошибочно принимают за луч BA, хотя они начинаются в разных точках. Перед записью поставьте палец на первую букву и проследите направление к второй.

Толстую точку на рисунке иногда считают объектом с заметным размером. Но отметка нужна лишь для того, чтобы её было видно; геометрическая точка не имеет длины и ширины. Проверка простая: не измеряйте пятнышко линейкой и не делайте вывод о размере точки по рисунку.

Можно также перепутать принадлежность точки отрезку и лучу, не учитывая их границы. Отрезок заканчивается в двух точках, а луч продолжается от начала только в одну сторону. Проверьте положение точки: она должна быть между концами отрезка или на продолжении луча от его начала, а не позади него.

Связь с другими темами

Перед изучением фигур полезно уметь пользоваться линейкой, отмечать точки и измерять длины отрезков. Эти навыки пригодятся при построении углов, ломаных линий и многоугольников: их стороны и части чертежа составляют из отрезков и лучей. Представления о прямой и отрезке нужны и в задачах с координатами, при вычислении периметра и при геометрических построениях.

Что запомнить

• Точка обозначается заглавной латинской буквой.
• Прямая не имеет концов и продолжается в обе стороны.
• Отрезок имеет два конца.
• Луч имеет начало, но не имеет конца.
• Через две различные точки проходит единственная прямая.
• Длину измеряют у отрезка, а не у прямой или луча.