4.3 Сложение и вычитание положительных десятичных дробей

Определения и обозначения

Десятичная дробь — дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее, записанная с помощью запятой. Например, 0,4 означает четыре десятых, то есть 4/10, а 0,25 — двадцать пять сотых, то есть 25/100. Запись с запятой позволяет удобно выражать части единицы и выполнять вычисления с ними. Такие числа часто встречаются в измерениях и денежных суммах.

Разряд десятичной дроби — место цифры справа от запятой: десятые, сотые, тысячные и так далее. Первая цифра справа показывает десятые доли, вторая — сотые, третья — тысячные. Например, в числе 3,482 цифра 4 означает четыре десятых, 8 — восемь сотых, а 2 — две тысячных. Знание разрядов помогает понять, какие цифры можно складывать или вычитать друг с другом.

Сложение положительных десятичных дробей — операция, при которой складывают числа, записанные в десятичной форме. Например, при сложении 1,2 и 0,5 объединяют одну целую и две десятых с пятью десятыми. Результат равен 1,7. Это действие используют, когда нужно найти общую длину нескольких отрезков или общую стоимость покупок.

Вычитание положительных десятичных дробей — операция, при которой из уменьшаемого вычитают вычитаемое, записанные в десятичной форме. В записи 5,6 − 2,1 число 5,6 называют уменьшаемым, а 2,1 — вычитаемым. Вычитание помогает узнать, сколько осталось, или на сколько одна величина больше другой. Чтобы не перепутать разряды, числа перед вычислением записывают с совмещёнными запятыми.

Как это устроено

Складывать и вычитать дроби можно поразрядно, потому что одинаковые разряды обозначают одинаковые доли единицы. Например, десятые можно объединять с десятыми: 3 десятых плюс 4 десятых дают 7 десятых. А десятые и сотые напрямую не складывают как одинаковые части, поскольку одна десятая содержит десять сотых. Поэтому сначала нужно правильно совместить разряды.

Для этого числа записывают одно под другим, располагая запятые на одной вертикальной линии. Тогда единицы окажутся под единицами, десятые — под десятыми, сотые — под сотыми. Такое расположение превращает вычисление в привычное сложение или вычитание столбиком. Если запятые не совпали, цифры могут оказаться напротив разрядов с разным значением.

Когда в числах разное количество знаков после запятой, справа от дробной части при необходимости дописывают нули. Это удобно, потому что в записи появляется одинаковое число разрядов: например, 3,4 можно представить как 3,40. Значение не меняется: четыре десятых равны сорока сотым. Нули не ставят перед запятой вместо разрядов и не приписывают слева к дробной части.

При сложении начинают с самых маленьких разрядов — справа. Складывают цифры одного разряда; если получается 10 или больше, записывают цифру единиц результата, а одну единицу переносят в соседний разряд слева. Например, 8 десятых и 7 десятых составляют 15 десятых: это 5 десятых и 1 целая. Запятую в сумме ставят под запятыми записанных чисел, чтобы целая и дробная части остались на своих местах.

При вычитании также работают справа налево, разряд за разрядом. Если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, занимают единицу у соседнего разряда слева: она превращается в 10 единиц текущего разряда. Например, одна десятая равна десяти сотым, поэтому её можно разменять для вычитания сотых. Цифру в том разряде, откуда заняли единицу, уменьшают на 1; запятую в ответе ставят под запятыми исходных чисел.

Сложение и вычитание положительных десятичных дробей

В таблице собраны общие этапы вычислений и особенности каждого действия. Иди по строкам сверху вниз: сначала подготовь запись, затем вычисли и проверь ответ. В столбцах сравни, что одинаково при сложении и вычитании, а что требует переноса или заимствования.

Разбор задач

В примерах ниже сначала определяем, какие разряды должны совпасть, и только затем выполняем арифметические действия. Такая последовательность помогает не потерять запятую и заметить, где может понадобиться перенос или заимствование. Каждый ответ можно проверить обратным действием. Запись столбиком особенно полезна, если в числах много цифр.

Вычислите 2,4 + 1,3.

У обоих слагаемых по одной цифре после запятой, поэтому десятые можно сразу поставить друг под другом. Складываем десятые с десятыми, а единицы с единицами. Перенос не нужен, так как ни в одном разряде сумма не достигает десяти.

1. Запишем числа столбиком: запятые совпадают, цифры десятых стоят одна под другой.

2. Сложим десятые: 4 + 3 = 7 десятых.

3. Сложим единицы: 2 + 1 = 3 единицы; запятую поставим под запятыми.

Ответ: 3,7.

Вычислите 5,08 − 2,7.

У уменьшаемого две цифры после запятой, а у вычитаемого — одна. Представим 2,7 как 2,70: это то же самое число, но теперь сотые стоят под сотыми. При вычитании справа налево в разряде десятых нужно занять, потому что 0 десятых меньше 7 десятых.

1. Запишем 5,08 − 2,70 столбиком, совместив запятые.

2. В сотых вычтем 0 из 8: получим 8 сотых.

3. В десятых из 0 нельзя вычесть 7. Займём 1 единицу у пяти единиц: останется 4 единицы, а 1 единица даст 10 десятых. Вычтем 7 десятых, получим 3 десятых.

4. В единицах вычтем 2 из 4: получим 2. Запятую поставим под запятыми.

Ответ: 2,38.

Из ленты длиной 12,5 м отрезали 3,78 м, а затем ещё 2,6 м. Сколько метров ленты осталось?

Нужно узнать остаток после двух отрезаний. Сначала найдём общую длину отрезанных частей, затем вычтем её из первоначальной длины ленты. Для удобства запишем все числа с двумя знаками после запятой: 12,50 м, 3,78 м и 2,60 м.

1. Сложим длины отрезанных частей: 3,78 + 2,60 = 6,38 м.

2. Вычтем эту сумму из первоначальной длины: 12,50 − 6,38. Запятые совмещаем и считаем справа налево.

3. Сотые: 0 меньше 8, поэтому занимаем 1 десятую; получаем 10 − 8 = 2. В разряде десятых после заимствования остаётся 4, а 4 − 3 = 1.

4. В целой части 12 после заимствования осталось 11 единиц; 11 − 6 = 5. Значит, осталось 5,12 м ленты.

Ответ: 5,12 м.

Типичные ошибки

Если складывать или вычитать цифры разных разрядов, получится неверный ответ: например, десятые могут оказаться напротив сотых. Обычно это происходит, когда числа записывают по левому краю, не обращая внимания на запятую. Проверяй, стоят ли запятые одна под другой, а цифры одинаковых разрядов — в одном столбце. В примере 2,7 и 5,08 сначала нужно совместить запятые, а не первые цифры.

Иногда забывают дописать ноль, когда после запятой в числах разное количество цифр. Без нуля разряды труднее сравнить, и можно по ошибке принять десятые за сотые. Проверь число знаков после запятой и при необходимости уравняй их: 2,7 = 2,70. Затем убедись, что значение дроби не изменилось.

Запятую в ответе нельзя ставить наугад или оставлять там, где случайно закончились вычисления. Если она не находится под запятыми исходных чисел, разряды результата смещаются и число получает другое значение. Перед тем как записать ответ, проверь положение вертикального столбца запятых. Можно также прикинуть, должен ли результат быть больше или меньше исходных чисел.

При вычитании ошибка возникает, если занимают единицу не у соседнего разряда или забывают уменьшить его цифру. Например, занятая единица из разряда десятых превращается в 10 сотых, но число десятых при этом уменьшается на 1. Проверь, из какого столбца взята единица и изменена ли его цифра. Для самопроверки выполни обратное действие: сложи разность с вычитаемым.

Связь с другими темами

Чтобы уверенно складывать и вычитать десятичные дроби, нужно знать разрядный состав чисел и понимать значение цифр после запятой. Это помогает совмещать десятые, сотые и другие доли, не смешивая их между собой. Десятичные вычисления часто нужны при работе с длиной, массой, временем и стоимостью. Например, так находят общую длину отрезков или остаток покупки денег после оплаты.

Сложение и вычитание пригодятся дальше при умножении и делении десятичных дробей. Они также входят в задачи, где нужно выполнить несколько действий подряд. Умение аккуратно записывать числа и проверять вычисления помогает контролировать решение на каждом шаге. Поэтому полезно сначала освоить разряды и действия с ними.

Что запомнить

• Записывай числа так, чтобы запятые стояли друг под другом.
• При необходимости уравнивай число знаков после запятой нулями справа.
• Нули, дописанные справа после запятой, не изменяют значение числа.
• Вычисляй по разрядам, начиная с меньших разрядов.
• При сложении перенос единицы выполняют в соседний разряд.
• При вычитании при необходимости занимают единицу у соседнего разряда.
• Запятую в ответе ставь под запятыми исходных чисел.