"Математика", Ткачёва М.В.
Повторение курса математики помогает связать вычисления с дробями, процентами и отношениями, а также научиться составлять уравнения по условию задачи. Эти понятия нужны, чтобы находить часть величины, сравнивать значения и решать задачи на движение. Главное — выбирать подходящее правило, аккуратно выполнять действия и проверять ответ: подстановка, оценка результата и единицы измерения помогают вовремя заметить ошибку.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Обыкновенная дробь записывается так: a/b, где a — числитель, а b — знаменатель, причём b ≠ 0. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель — сколько таких частей взяли. Дробь может обозначать часть целого или частное двух чисел. Это помогает описывать величины, которые не выражаются целым числом.
Процент — одна сотая часть величины, поэтому 1% = 1/100 = 0,01. Например, 25% — это 25/100, или 0,25, то есть четверть целого. Проценты удобно использовать для сравнения частей с целым, а десятичная дробь помогает выполнять вычисления. Связь между этими записями позволяет выбирать самый удобный способ решения.
Отношение величины a к величине b — это частное a/b при b ≠ 0. Оно показывает, во сколько раз одна величина больше другой, или как соотносятся две величины. Например, отношение 12 км к 3 ч равно 4 км/ч, если речь идёт о скорости. Отношения помогают сравнивать значения и составлять пропорции.
Уравнение — это равенство, в котором есть неизвестное число, обычно обозначенное буквой. Корнем уравнения называют такое значение неизвестного, при котором равенство становится верным. Например, число 4 — корень уравнения x + 3 = 7, потому что 4 + 3 = 7. Уравнения нужны, чтобы записывать связи из условия задачи и находить неизвестную величину.
При сложении или вычитании дробей их части должны быть одинакового размера, поэтому знаменатели сначала делают равными. Для этого находят общий знаменатель и умножают числитель каждой дроби на то же число, что и знаменатель: значение дроби при этом не меняется. Затем складывают или вычитают только числители, а общий знаменатель оставляют. Результат сокращают, если числитель и знаменатель делятся на одно и то же число.
Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, можно разделить числитель на знаменатель. Иногда удобнее подобрать равную дробь со знаменателем 10, 100 или 1000: например, 3/4 = 75/100 = 0,75. Если после сокращения в знаменателе остаются только множители 2 и 5, десятичная запись конечная; в других случаях деление может продолжаться бесконечно. Чтобы получить проценты, десятичную дробь умножают на 100, а чтобы перейти от процентов к десятичной дроби — делят на 100.
Отношение показывает, как связаны две величины, а равенство двух отношений называют пропорцией. Если a/b = c/d, то ad = bc: это следует из умножения обеих частей равенства на bd. Так можно найти неизвестный член пропорции. В задачах на прямую зависимость одна величина изменяется во столько же раз, во сколько другая: при постоянной скорости расстояние растёт вместе со временем, поэтому сначала удобно найти значение для одной единицы времени.
Уравнение по условию задачи начинают составлять с обозначения неизвестного, например x. Затем остальные величины выражают через x и связывают их тем равенством, которое описано в задаче: суммой, разностью, произведением или отношением. Такая запись помогает не угадывать ответ, а последовательно найти его. После решения нужно объяснить, что означает найденное число и в каких единицах его записать.
Проверка помогает обнаружить ошибку, потому что решение должно выдержать несколько простых испытаний. Вычисления можно проверить обратным действием, а найденный корень — подстановкой в исходное уравнение. Оценка ответа заранее показывает примерный размер результата: после скидки цена должна стать меньше, а расстояние при той же скорости за большее время — увеличиться. Наконец, единицы измерения должны соответствовать вопросу задачи.
Используйте таблицу как краткий маршрут повторения: сначала определите тему задачи, затем вспомните действие и способ проверки. Если ответ вызывает сомнение, вернитесь к правилу и проверьте вычисления обратным действием или подстановкой. В задачах о величинах отдельно оцените, подходит ли результат по смыслу и единицам измерения.
| Тема | Что означает | Основное действие или правило | Как проверить результат |
|---|---|---|---|
| Обыкновенные дроби | Часть целого или частное чисел. | Для сложения и вычитания найти общий знаменатель; умножать числители и знаменатели; при делении умножать на обратную дробь. | Сократить ответ и проверить вычисление обратным действием или оценкой. |
| Десятичные дроби | Числа с десятичной запятой, показывающие целые и доли единицы. | При сложении и вычитании записывать запятые друг под другом; при умножении учитывать число знаков после запятой. | Оценить величину ответа и повторить вычисление другим способом. |
| Проценты | Сотые доли величины; 1% = 1/100. | p% от числа находить умножением на p/100. | Сравнить найденную часть с целым и проверить, уменьшается или увеличивается величина. |
| Отношения и пропорции | Отношение — частное двух величин; пропорция — равенство отношений. | В пропорции a/b = c/d перемножить крайние и средние члены: ad = bc. | Подставить найденное значение и проверить равенство отношений. |
| Уравнения | Равенство с неизвестным; корень делает его верным. | Выполнять одинаковые допустимые действия с обеими частями равенства. | Подставить корень в исходное уравнение. |
| Положительные и отрицательные числа | Числа больше нуля и меньше нуля; ноль не относится ни к тем, ни к другим. | При сложении чисел с разными знаками вычесть меньший модуль из большего и поставить знак числа с большим модулем. | Оценить знак результата и проверить вычисление на числовой прямой. |
Задача 1. Вычислите 3/4 + 5/6 и запишите ответ в виде десятичной дроби, если это возможно. Знаменатели 4 и 6 разные, поэтому складывать числители сразу нельзя: сначала нужно выразить дроби в одинаковых долях. После сложения стоит проверить, можно ли получить конечную десятичную запись.
Ответ: 19/12 = 1 7/12; в виде конечной десятичной дроби записать нельзя, 19/12 = 1,58(3).
Задача 2. Товар стоил 800 рублей, затем его уценили на 15%. Нужно найти новую цену. Сначала определяем, чему равна скидка в рублях, потому что 15% — это часть первоначальной стоимости. Потом вычитаем эту часть из начальной цены и проверяем, что результат меньше 800 рублей.
Ответ: новая цена — 680 рублей.
Задача 3. За 3 часа велосипедист проехал 42 км. Сколько километров он проедет за 5 часов с той же скоростью? Постоянная скорость означает, что за каждый час он проходит одинаковое расстояние. Обозначим искомое расстояние за 5 часов через x и запишем пропорцию между временем и расстоянием.
Ответ: за 5 часов велосипедист проедет 70 км.
Ошибка: складывать или вычитать отдельно числители и знаменатели, например считать 1/3 + 1/4 равным 2/7. Так делают, когда переносят привычное действие с целыми числами на дроби, но части здесь имеют разный размер. Сначала найдите общий знаменатель: 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12. Проверка: ответ должен быть больше каждой из дробей, но меньше 1.
Ошибка: при переводе процентов в десятичную дробь делить на 10 вместо 100 или путать часть величины с её увеличением. Например, 15% от 200 — это 30, а увеличение 200 на 15% даёт 230. Путаница возникает, когда забывают, что знак процента означает сотую долю. Для проверки запишите процент как p/100 и решите, требуется найти только часть или новое значение целиком.
Ошибка: перемножать в пропорции случайные члены, не различая крайние и средние. Так происходит, если записать отношения неаккуратно или не проследить порядок чисел. В равенстве a/b = c/d крайние члены — a и d, средние — b и c, поэтому верно ad = bc. Проверить себя можно, записав эти произведения и подставив результат обратно в исходное отношение.
Ошибка: принять найденное при решении уравнения число за ответ, не проверив его по условию. Уравнение может быть решено верно, но число, например, не подходит по смыслу величины или единицам. Такую проверку пропускают, когда сосредоточены только на вычислениях. Подставьте число в исходное равенство, затем проверьте, отвечает ли оно вопросу и может ли быть таким значением в реальной задаче.
Для повторения пригодятся устный счёт, знание разрядов числа, признаков делимости и порядка действий: без них легко ошибиться ещё до применения правила. Дроби, проценты и отношения встречаются при изучении вероятности, масштабов, пропорциональных зависимостей и задач на движение. Умение составлять и проверять уравнения станет опорой для работы с алгебраическими выражениями и дальнейшего решения задач.
Как выбрать общий знаменатель для сложения дробей?
Подойдёт любое общее кратное знаменателей, но удобнее всего наименьшее общее кратное: тогда числа в вычислениях будут меньше. Если один знаменатель делится на другой, можно взять больший.
Как понять, что выгоднее: перевести дробь в десятичную или оставить обыкновенной?
Если после сокращения знаменатель дроби состоит только из множителей 2 и 5, десятичная запись будет конечной, и перевод обычно удобен. В остальных случаях десятичная запись может быть бесконечной периодической, поэтому лучше оставить дробь обыкновенной.
Чем нахождение процента от числа отличается от увеличения числа на этот процент?
Чтобы найти процент от числа, находят только соответствующую часть: например, 15% от 800 равны 120. Чтобы увеличить число на 15%, к исходному числу прибавляют эти 120, то есть получают 920.
Почему в пропорции можно перемножать крайние и средние члены?
Пропорция a/b = c/d означает равенство двух частных. Если умножить обе части на произведение знаменателей bd, получится ad = bc — равенство произведений крайних и средних членов.
Как проверить, что решение уравнения отвечает условию задачи?
Сначала подставьте найденное значение в исходное уравнение и проверьте, что равенство верно. Затем убедитесь, что число подходит по смыслу задачи: например, время и расстояние не отрицательны, а ответ дан в нужных единицах.
Упражнения для повторения курса математики
