"Математика (в 2 частях)", Аргинская И.И., Ивановская Е.И., Кормишина С.Н.
Двузначные числа состоят из десятков и единиц, поэтому их удобно складывать и вычитать по разрядам. Если единиц при сложении набралось десять или больше, их объединяют в десяток. Если при вычитании единиц не хватает, один десяток заменяют десятью единицами. Эти приёмы помогают считать устно и письменно, не путать значения цифр и проверять результат обратным действием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Двузначное число — число, записанное двумя цифрами: одна показывает число десятков, другая — число единиц. Например, в числе 56 цифры обозначают 5 десятков и 6 единиц, а не просто 5 и 6 отдельных предметов. Такое понимание помогает видеть, какое значение имеет каждая цифра. Оно нужно, чтобы правильно выполнять вычисления и не смешивать десятки с единицами.
Разряд десятков — позиция цифры, показывающей, сколько десятков содержит число. В числе 56 цифра 5 стоит в разряде десятков и означает 50. Разряд помогает понять значение цифры по её месту в записи. При сложении и вычитании действия с десятками выполняют отдельно от действий с единицами.
Разряд единиц — позиция цифры, показывающей количество единиц сверх полных десятков. В числе 56 цифра 6 стоит в разряде единиц и означает шесть единиц. Эта цифра показывает остаток после выделения полных десятков. Знание разряда нужно, чтобы сравнивать и обрабатывать именно единицы, не принимая их за десятки.
Разрядный состав числа — представление двузначного числа как суммы десятков и единиц, например 47 = 40 + 7. Иначе говоря, число раскладывают на две части, которые соответствуют значениям его цифр. Это позволяет сгруппировать десятки и единицы при вычислении. Например, так легче заметить, когда при сложении единиц образуется ещё один десяток.
Двузначное число можно разложить на десятки и единицы, потому что в десятичной записи каждая цифра занимает определённое место. Например, 43 — это 4 десятка и 3 единицы, то есть 40 + 3. При сложении и вычитании полезно работать с этими частями отдельно: десятки не приходится считать по одному, а единицы не теряются среди них. Если разрядный состав записан верно, вычисление можно проверить по отдельным действиям.
При сложении без перехода через разряд десятки складывают с десятками, а единицы — с единицами. Такой способ работает, когда сумма единиц меньше десяти: они остаются единицами и не образуют дополнительный десяток. Например, 32 + 45 можно представить как (30 + 40) + (2 + 5). Десятки дают 70, единицы — 7, поэтому результат равен 77.
Если при сложении единиц получилось десять или больше, возникает переход через разряд. Это происходит потому, что десять единиц составляют один десяток: их можно объединить, а оставшиеся единицы записать отдельно. Например, 8 + 7 = 15 единиц, то есть 1 десяток и 5 единиц. К сумме десятков прибавляют этот дополнительный десяток, иначе в результате не будет учтена вся сумма.
При вычитании без перехода через разряд единицы вычитают из единиц, а десятки — из десятков. Этот способ подходит, когда единиц в уменьшаемом не меньше, чем в вычитаемом: отрицательного количества единиц не возникает. Например, в 76 − 34 можно отдельно найти 6 − 4 и 70 − 30. Потом полученные части соединяют, чтобы получить разность.
Если единиц уменьшаемого меньше, чем единиц вычитаемого, одного разряда единиц недостаточно. Тогда один десяток заменяют десятью единицами: число десятков становится на один меньше, а число единиц увеличивается на десять. Например, 52 можно представить как 40 + 12, не меняя его значения. После размена единицы вычитают из единиц, а оставшиеся десятки — из десятков.
| Случай | Действия с единицами | Действия с десятками | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Сложение без перехода через разряд | Сложить единицы; их сумма меньше 10. | Сложить десятки. | Единицы и десятки не перепутаны. |
| Сложение с переходом через разряд | Сложить единицы, 10 единиц заменить десятком. | Сложить десятки и добавить новый десяток. | Дополнительный десяток учтён. |
| Вычитание без перехода через разряд | Вычесть единицы из единиц. | Вычесть десятки из десятков. | В каждом разряде уменьшаемого достаточно. |
| Вычитание с переходом через разряд | После размена вычесть единицы. | Уменьшить десятки на один и выполнить вычитание. | Десяток разменян, значение числа сохранено. |
Сначала найди в таблице случай, который подходит к примеру: сравни суммы или разности единиц. Затем выполни указанные действия по разрядам и обязательно проверь последний столбец. Если при сложении или вычитании приходится менять разрядный состав, убедись, что переход или размен учтён.
Представим числа как суммы десятков и единиц, чтобы сложить части одного разряда. В записи 32 есть 30 и 2, а в записи 45 — 40 и 5. Единицы дают меньше десяти, поэтому дополнительный десяток не образуется. Остаётся соединить суммы десятков и единиц.
Ответ: 77. Проверим смысл результата: сумма двух чисел, каждое из которых больше 30, должна быть больше 70. Полученное число этому условию соответствует. Перехода через разряд не было, потому что сумма единиц равна 7.
Разложение чисел показывает, что десятки дают 50, а единицы — 15. Пятнадцать единиц нельзя оставить только в разряде единиц: каждые десять единиц образуют десяток. Поэтому выделим из них один десяток и пять единиц. Новый десяток нужно присоединить к уже найденным десяткам.
Ответ: 65. В результате должны остаться 5 единиц, а десятков должно быть 6: пять исходных десятков и один, образованный из единиц. Если забыть добавить этот десяток, получится неверное значение. Разложение 65 = 60 + 5 помогает проверить, что оба разряда учтены.
В разряде единиц у числа 72 только 2 единицы, а вычесть нужно 8. Поэтому отделить нужное количество единиц сразу нельзя. Разменяем один из семи десятков: останется 6 десятков, а единиц станет 12. Значение числа останется равным 72.
Ответ: 34. Проверка работает, потому что вычитание и сложение связаны обратной зависимостью. Разность вместе с вычитаемым должна дать исходное уменьшаемое. Здесь получилось 72, значит результат подтверждён.
Складывают или вычитают цифры, не учитывая их разряды: например, воспринимают десятки и единицы как одинаковые числа. Так происходит, если смотреть только на сами цифры и забывать, что позиция меняет их значение. Чтобы проверить себя, разложи числа на десятки и единицы, а затем убедись, что действия выполняются между соответствующими разрядами. Например, десятки складывай с десятками, а не с единицами.
При сложении единиц больше девяти иногда забывают перенести десяток. Тогда в ответе записывают все единицы как будто они остаются в одном разряде, хотя десять из них составляют десяток. Ошибку помогает заметить вопрос: можно ли оставить в разряде единиц 10 или больше? Если нет, преобразуй сумму единиц и проверь, прибавлен ли новый десяток к десяткам.
При вычитании из меньшего числа единиц не всегда выполняют размен десятка. Это случается, когда пытаются вычесть цифры по отдельности, не проверив, хватает ли единиц уменьшаемого. Сравни числа в разряде единиц до вычитания: если единиц меньше, замени один десяток десятью единицами. После вычисления проверь разность сложением с вычитаемым.
При размене десятка можно неверно изменить количество десятков или единиц. Например, добавить десять единиц, но оставить прежнее число десятков: тогда значение числа увеличится, а не сохранится. Или можно уменьшить десятки сразу на два, хотя разменяли только один. Проверяй запись до и после: один десяток убавился, десять единиц прибавилось, а исходное число осталось тем же.
Для работы с двузначными числами нужно уметь читать и записывать их, представлять число как сумму десятков и единиц и знать состав числа 10. Эти знания помогают понять, почему десять единиц объединяются в десяток, а один десяток можно разменять на десять единиц. Если разрядный состав пока вызывает затруднения, потренируйся раскладывать числа, например 63 = 60 + 3. Так будет проще перейти к вычислениям.
Приёмы сложения и вычитания по разрядам применяются в устных и письменных вычислениях с многозначными числами. Тот же принцип помогает не смешивать единицы, десятки, сотни и другие разряды. Он пригодится и в текстовых задачах: сначала нужно понять, какое действие требуется, а затем аккуратно выполнить его по разрядам. Проверка обратным действием помогает оценить, подходит ли ответ к условию.
Почему двузначное число раскладывают на десятки и единицы?
Каждая цифра двузначного числа стоит в своём разряде и показывает разное количество: десятков или единиц. Например, в числе 47 цифра 4 означает 40, а цифра 7 — 7. Разложение помогает складывать и вычитать отдельно десятки и единицы.
Что делать, если при сложении единиц получилось больше девяти?
Нужно объединить каждые десять единиц в один десяток. Например, 8 + 7 = 15 единиц, то есть 1 десяток и 5 единиц. Пять единиц записывают в разряде единиц, а десяток добавляют к десяткам.
Зачем при вычитании иногда разменивать десяток?
Размен нужен, когда единиц в уменьшаемом меньше, чем в вычитаемом. Один десяток заменяют десятью единицами: количество десятков уменьшается на один, а единиц становится на десять больше. Значение числа при этом сохраняется.
Можно ли менять местами слагаемые при сложении двузначных чисел?
Да, слагаемые можно менять местами: сумма от этого не изменится. Удобно сначала складывать те числа или разряды, с которыми легче считать. После перестановки всё равно нужно учитывать десятки и единицы.
Как проверить вычитание сложением?
К разности прибавляют вычитаемое. Если получилось уменьшаемое, вычисление выполнено верно. Например, для равенства 72 − 38 = 34 проверка такая: 34 + 38 = 72.
Сложение и вычитание двузначных чисел
