"Математика (в 2 частях)", Аргинская И.И., Ивановская Е.И., Кормишина С.Н.
Умножение помогает быстро находить сумму одинаковых слагаемых, а деление — распределять число поровну или узнавать, сколько раз одна величина содержится в другой. В записи произведения числа называют множителями, а результат — произведением; в записи деления используют делимое, делитель и частное. Умножение и деление связаны как обратные действия, поэтому одно помогает проверить другое. Чтобы вычислять без ошибок, нужно знать свойства умножения, помнить, что на ноль делить нельзя, и соблюдать порядок действий.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение — действие, заменяющее сложение одинаковых слагаемых. Его записывают знаками × или ·: например, 5 · 3 означает три слагаемых, каждое из которых равно пяти. Такая запись помогает короче представить повторяющееся сложение и быстрее найти результат.
В записи a · b = c числа a и b называют множителями, а число c — произведением. Множители показывают, какие числа перемножают, а произведение — результат этого действия. Эти названия помогают точно объяснять вычисление и отличать исходные числа от ответа.
Деление — действие, которое позволяет разделить число на равные части или узнать, сколько раз одна величина содержится в другой. Деление обозначают двоеточием: a : b. Например, разделить 12 на 3 можно как раздать 12 предметов поровну трём участникам или узнать, сколько троек содержится в 12.
В записи a : b = c число a называют делимым, b — делителем, c — частным. Делимое — число, которое делят; делитель показывает, на сколько частей делят или какого размера части ищут. Частное сообщает результат, поэтому эти названия помогают правильно читать запись и проверять ответ.
Если одинаковое слагаемое повторяется много раз, его сложение можно заменить умножением: вместо 6 + 6 + 6 + 6 записать 6 · 4. Первый множитель показывает величину каждого слагаемого, второй — сколько таких слагаемых взято. Поэтому для нахождения произведения можно сложить одинаковые числа или воспользоваться известными таблицами умножения. Умножение особенно удобно, когда одинаковых слагаемых много.
Перестановка множителей не меняет произведение, потому что в группе предметов можно считать ряды или столбцы: количество всех предметов останется тем же. Поэтому a · b = b · a, и можно выбрать более удобный порядок. Если множителей несколько, их можно объединять в группы: например, (2 · 5) · 3 = 2 · (5 · 3). Так вычисление становится проще, когда сначала удобно перемножить пару чисел.
Деление связано с умножением, потому что оно отвечает на вопрос: какое число нужно умножить на делитель, чтобы получить делимое? Поэтому равенство a : b = c означает, что b · c = a. Например, если 20 : 4 = 5, то проверка 4 · 5 = 20 подтверждает результат. Эта связь помогает и находить частное, и проверять деление.
При делении на ноль пришлось бы искать число, которое при умножении на ноль даст делимое. Но любое число, умноженное на ноль, равно нулю, поэтому для ненулевого делимого такого числа нет; деление на ноль не определено. Если же делимое равно нулю, а делитель не равен нулю, частное равно нулю: 0 : 5 = 0, так как 5 · 0 = 0. Условие о ненулевом делителе здесь обязательно.
Свойства умножения помогают упростить вычисления. При умножении на 0 получается 0, а при умножении на 1 число не меняется. Распределительное свойство позволяет умножить сумму на число по частям: a · (b + c) = a · b + a · c; оно работает и с разностью: a · (b − c) = a · b − a · c. Благодаря этому, например, 7 · 12 можно вычислить как 7 · (10 + 2), а затем сложить результаты.
| Признак | Умножение | Деление |
|---|---|---|
| Смысл действия | Сложение одинаковых слагаемых | Распределение поровну или поиск количества частей |
| Название компонентов | Множители | Делимое и делитель |
| Название результата | Произведение | Частное |
| Связь с обратным действием | Обратное действие — деление | Обратное действие — умножение |
| Особые случаи с 0 и 1 | a · 0 = 0; a · 1 = a | 0 : a = 0 при a ≠ 0; на 0 делить нельзя |
| Равенство для проверки результата | Частное · делитель = делимое | Частное · делитель = делимое |
Сравнивайте в таблице смысл действий и названия чисел, чтобы не путать компоненты с результатом. Для деления особенно полезна строка проверки: умножение частного на делитель должно дать делимое. Если в примере участвуют ноль или единица, сверяйтесь со строкой особых случаев.
Задача 1. Записать сложение 7 + 7 + 7 + 7 в виде произведения и найти его значение. Здесь одно и то же слагаемое 7 повторяется четыре раза. Значит, первый множитель будет равен 7, а второй покажет число повторений.
Ответ: 7 · 4 = 28.
Задача 2. Вычислить 84 : 6 и проверить результат. Нужно найти число, которое при умножении на 6 даёт 84. Можно вспомнить таблицу умножения или подобрать частное по известным произведениям.
Ответ: 14.
Задача 3. Вычислить выражение 48 − 6 · 5 + 24 : 3. Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, поэтому сначала находим значения двух действий с более высоким приоритетом. Затем остаётся вычислить выражение с вычитанием и сложением слева направо.
Ответ: 26.
Множитель иногда называют произведением, хотя произведение — это результат умножения. Путаница возникает из-за того, что все числа записаны рядом в одном выражении. Проверьте себя: в записи 3 · 4 = 12 множители — 3 и 4, а произведение — 12.
При делении могут поменять местами делимое и делитель. Тогда вместо 24 : 6 ошибочно считают 6 : 24, потому что забывают, какое число делят. Читайте запись слева направо и проверяйте ответ умножением: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое.
Некоторые считают, что любое число можно делить на ноль. Так рассуждают, если воспринимают деление как действие, которое всегда обязано дать ответ. Проверьте смысл: для ненулевого делимого не существует числа, которое при умножении на ноль даст это делимое, поэтому деление на ноль невозможно.
В выражении иногда сначала выполняют сложение или вычитание, хотя там есть умножение или деление. Ошибка появляется, когда считают просто по порядку записи, не учитывая преимущество этих действий. Отметьте сначала умножение и деление, выполните их слева направо, а затем переходите к сложению и вычитанию.
Для умножения полезно уметь складывать одинаковые слагаемые, а для деления — понимать вычитание и уверенно пользоваться таблицей сложения. Эти знания помогают увидеть смысл новых действий, а не только запомнить запись. Умножение и деление нужны в текстовых задачах на равные группы, цену и количество, скорость и время. Позже они станут основой действий с дробями и величинами, пропорциями и уравнениями.
Почему умножение называют сложением одинаковых слагаемых?
При умножении одного и того же числа на натуральное число мы складываем это число столько раз, сколько показывает второй множитель. Например, 7 · 4 = 7 + 7 + 7 + 7. Запись произведения короче и удобнее записи длинной суммы.
Можно ли менять местами множители?
Да, произведение от этого не изменится: a · b = b · a. Например, 3 · 8 = 8 · 3 = 24. Это свойство позволяет выбирать более удобный порядок вычислений.
Как проверить результат деления?
Умножьте частное на делитель. Если получили делимое, деление выполнено верно: например, для 84 : 6 = 14 проверка — 14 · 6 = 84.
Почему нельзя делить на ноль?
Деление ищет число, которое при умножении на делитель даст делимое. При делении на ноль такого числа для ненулевого делимого нет, потому что любое число, умноженное на ноль, равно нулю. Поэтому деление на ноль не определено.
В каком порядке выполнять умножение, деление, сложение и вычитание?
Сначала выполняют умножение и деление, двигаясь слева направо. Затем выполняют сложение и вычитание, тоже слева направо. Скобки, если они есть, задают действия, которые нужно выполнить раньше.
Умножение и деление
