"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Равносильные уравнения имеют один и тот же набор корней, хотя выглядеть могут по-разному. Это свойство помогает упрощать уравнение шаг за шагом: переносить слагаемые, прибавлять и вычитать числа, умножать или делить обе части. Главное — выполнять равносильные преобразования и помнить, что делить можно только на ненулевое число. Найденный корень полезно проверить подстановкой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корень уравнения — значение переменной, которое превращает уравнение в верное равенство. Чтобы проверить корень, его подставляют вместо переменной в исходное уравнение и выполняют вычисления. Если левая и правая части равны, значение является корнем.
Равносильные уравнения — уравнения с одинаковыми корнями. Их внешний вид может быть разным: например, 2x = 10 и x = 5 записаны не одинаково, но имеют один корень. Это позволяет заменять сложную запись более простой.
Равносильность уравнений означает совпадение множеств корней двух уравнений. Если корни перечислить в виде набора, у равносильных уравнений эти наборы совпадут. При решении именно это свойство позволяет переходить от одного уравнения к другому.
Преобразование уравнения — изменение его формы, например раскрытие скобок или перенос слагаемого. После преобразования множество корней может сохраниться, а может измениться. Поэтому для каждого действия нужно проверять, допустимо ли оно, а найденный ответ — подставлять в исходную запись.
Перенос слагаемого через знак равенства сохраняет корни, потому что на самом деле означает прибавление противоположного числа к обеим частям. В уравнении 2x + 5 = 11 можно вычесть 5 слева и справа и получить 2x = 11 − 5. Запись короче, но смысл действия остаётся тем же.
К обеим частям уравнения разрешено прибавлять или вычитать одно и то же число. Если до действия части были равны, добавление одинакового числа не нарушит равенство, а если после действия части равны, вычитанием этого числа можно вернуться назад. Поэтому корни уравнения не меняются.
Умножение обеих частей на одно и то же ненулевое число также сохраняет равенство. Обратное действие — деление на этот же ненулевой множитель, поэтому исходный корень можно восстановить. Например, из x/2 = 5 получаем x = 10.
Ноль является исключением: делить на него нельзя, потому что такого действия в математике не определено. Умножение на ноль тоже опасно для равносильности: уравнения x = 3 и 0x = 0 имеют разный смысл и разное количество корней. После умножения информация о значении x может исчезнуть.
Равносильное преобразование не добавляет новых корней и не удаляет старые. Раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и допустимый перенос обычно сохраняют корни, а деление требует проверки ненулевого делителя. Если действие могло изменить множество корней, результат обязательно проверяют в исходном уравнении.
В таблице указаны действия, которые можно выполнять с уравнением без изменения множества корней. Перед применением проверьте условие в соответствующей строке. Пример показывает, как записать такой переход.
| Преобразование | Условие | Что происходит с корнями | Пример записи |
|---|---|---|---|
| Прибавление одного и того же числа к обеим частям | Число должно быть одинаковым в обеих частях | Множество корней не изменяется | x + 4 = 9 → x + 4 − 4 = 9 − 4 |
| Вычитание одного и того же числа из обеих частей | Число должно быть одинаковым в обеих частях | Множество корней не изменяется | x − 3 = 7 → x − 3 + 3 = 7 + 3 |
| Умножение обеих частей на одно и то же число | Множитель не должен быть равен нулю | Множество корней не изменяется | x/2 = 5 → x = 10 |
| Деление обеих частей на одно и то же число | Делитель не должен быть равен нулю | Множество корней не изменяется | 3x = 12 → x = 4 |
| Перенос слагаемого через знак равенства | Знак слагаемого меняется на противоположный | Это сокращённая запись прибавления или вычитания одного и того же числа | 2x + 5 = 11 → 2x = 11 − 5 |
Задача 1. Решить уравнение 3x + 5 = 17 и выполнить проверку полученного корня. Сначала уберём слагаемое 5, затем освободим переменную от коэффициента 3. Оба действия выполняются с обеими частями уравнения.
Ответ: x = 4.
Задача 2. Решить уравнение 5x − 7 = 2x + 8. Слагаемые с переменной удобно собрать слева, а известные числа — справа. При переносе каждого слагаемого знак меняется.
Ответ: x = 5.
Задача 3. Решить уравнение 2(3x − 1) = 4x + 10 и проверить ответ. Сначала раскроем скобки, затем соберём подобные слагаемые и перенесём переменные.
Ответ: x = 6.
При переносе слагаемого ученик иногда оставляет его знак без изменения. Так происходит, если перенос воспринимают как перемещение, а не как действие с обеими частями. Проверьте себя обратным переносом: если вернуть слагаемое назад, исходная запись должна восстановиться.
Нельзя делить обе части на число или выражение, не убедившись, что делитель не равен нулю. Ошибку допускают, когда смотрят только на удобство вычислений и забывают об условии допустимости. Перед делением отдельно запишите, чему равен делитель.
Иногда умножают только левую или только правую часть уравнения. Равенство сохранится лишь тогда, когда одно и то же действие выполнено с обеими частями. После шага сравните записи слева и справа от знака равенства.
Полученное число могут сразу объявить корнем, не сделав проверку. Так легко пропустить ошибку в знаке, скобках или вычислениях. Подставьте ответ именно в исходное уравнение и убедитесь, что обе части совпали.
До этой темы нужно знать, что такое уравнение и его корень, уметь выполнять действия с целыми числами. Также понадобятся раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. Эти навыки помогают выполнять преобразования без лишних ошибок.
Равносильные преобразования особенно нужны при решении линейных уравнений. Они помогают работать с уравнениями со скобками и дробными коэффициентами. Сложную запись постепенно приводят к виду x = число.
Позже те же идеи встретятся при решении неравенств и систем уравнений. Они используются и в задачах, где сначала составляют уравнение по условию. Поэтому умение сохранять множество решений пригодится в следующих темах.
Почему при переносе слагаемого через знак равенства меняется его знак?
Перенос — это короткая запись прибавления или вычитания одного и того же числа из обеих частей уравнения. Например, чтобы убрать +5 слева, вычитают 5 из обеих частей: 2x + 5 = 11 превращается в 2x = 11 − 5.
Можно ли назвать равносильными уравнения с разными коэффициентами и разным видом?
Да, если у них совпадают все корни. Например, 2x = 10 и x = 5 выглядят по-разному, но оба имеют единственный корень x = 5.
Почему нельзя делить обе части уравнения на ноль?
Деление на ноль не имеет смысла. Такая операция может уничтожить информацию об исходном уравнении, поэтому она не сохраняет равносильность.
Всегда ли найденное при преобразованиях значение является корнем исходного уравнения?
Нет, если при решении использовали преобразование, которое не гарантирует сохранение корней. При обычных допустимых действиях корень сохраняется, но подстановка в исходное уравнение помогает обнаружить ошибку.
Зачем проверять ответ, если все преобразования считаются равносильными?
Проверка нужна, чтобы заметить арифметическую ошибку или неверно выполненное преобразование. Подстановка найденного значения в исходное уравнение показывает, получилось ли верное равенство.
З Занятие 1. Равносильность уравнений
