"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Комбинаторика помогает находить число возможных вариантов выбора, составления или расположения предметов, не перечисляя их все подряд. Главные инструменты темы — правило сложения для взаимоисключающих способов и правило умножения для последовательных выборов. Дерево вариантов показывает ход выбора и помогает проверить, что ни один вариант не пропущен и не посчитан дважды.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Комбинаторная задача — задача о подсчёте числа возможных вариантов без их полного перечисления. Например, нужно узнать, сколько комплектов одежды можно составить из имеющихся вещей. Это определение помогает увидеть, что требуется считать не сами предметы, а способы их сочетания.
Правило сложения говорит: число вариантов выбора одного из взаимоисключающих способов находят сложением чисел вариантов каждого способа. Взаимоисключающие способы нельзя выполнить одновременно в одном результате: выбирают тетрадь или альбом. Правило нужно, чтобы объединить отдельные группы вариантов и не смешать их в пары.
Правило умножения говорит: число вариантов последовательного выполнения нескольких действий находят умножением числа вариантов каждого действия. Если для каждого первого выбора подходят все варианты второго выбора, образуются пары или другие комбинации. Это правило позволяет быстро посчитать такие комбинации вместо длинного списка.
Дерево вариантов — схема, показывающая последовательность выборов и все получающиеся комбинации. От одной точки отходят ветви первого выбора, от каждой ветви — ветви следующего выбора. По конечным веточкам можно проверить, сколько вариантов получилось и не повторился ли какой-либо из них.
Комбинаторную задачу можно распознать по вопросу «сколько способов?». Обычно требуется выбрать предметы, составить наборы или расположить объекты в определённом порядке. Если ответ нельзя получить простым измерением или одним вычислением, сначала выясните, из каких выборов складывается результат.
Сложение применяют, когда выбирают только один вариант из нескольких групп. Например, покупатель берёт одну тетрадь или один альбом, поэтому выбранный предмет относится либо к первой, либо ко второй группе. Вариант из одной группы не соединяется с вариантом из другой, значит, количество всех вариантов получается сложением.
Умножение появляется, когда результат создаётся несколькими выборами подряд. Для каждой выбранной рубашки можно выбрать брюки, поэтому один выбор соединяется с другим. Каждый вариант первого шага образует столько комбинаций, сколько вариантов есть на втором шаге, и одинаковое число повторяется для всех первых выборов.
Дерево вариантов удобно строить слева направо или сверху вниз. Сначала рисуют ветви первого выбора, затем от каждой ветви проводят варианты следующего выбора; конечная ветвь означает готовую комбинацию. Если аккуратно записать названия на ветвях, можно пересчитать конечные точки и заметить пропущенные или повторённые варианты.
В одной задаче правила могут встречаться вместе. Сначала определите отдельные способы получить результат, внутри каждого способа посчитайте последовательные выборы умножением, а затем объедините взаимоисключающие способы сложением. Такая запись показывает структуру решения, например 2 · 3 + 4: сначала считаются комбинации, затем к ним добавляется другая группа.
| Ситуация | Условие применения | Действие | Схема подсчёта |
|---|---|---|---|
| Выбор одного из взаимоисключающих способов | Способы нельзя объединить в одном результате | Сложить числа вариантов | a + b |
| Последовательный выбор нескольких элементов | Каждый вариант одного шага можно сочетать с вариантами следующего | Умножить числа вариантов | a · b |
| Сочетание правил сложения и умножения | Есть отдельные способы, внутри которых выполняется несколько выборов | Сначала умножить, затем сложить | a · b + c |
| Проверка результата перебором или деревом вариантов | Нужно убедиться, что все комбинации учтены по одному разу | Перечислить варианты или посчитать конечные ветви | Число конечных вариантов |
Пользуйтесь таблицей после того, как описали словами, что именно происходит в задаче. Если результат выбирают из разных групп, ищите сложение, а если составляют по шагам — умножение. При сомнении постройте небольшое дерево вариантов и сравните число конечных ветвей с вычислением.
Задача 1. В магазине есть 4 вида тетрадей и 3 вида альбомов. Нужно выбрать один предмет: тетрадь или альбом. Эти варианты не составляются в один комплект, поэтому применяем правило сложения.
Ответ: 7 способов. Нельзя умножать 4 на 3, потому что покупатель выбирает только один предмет, а не тетрадь вместе с альбомом.
Задача 2. У ученика есть 3 рубашки и 2 пары брюк. Комплект одежды получается после двух выборов: сначала выбирается рубашка, затем брюки. Каждую рубашку можно сочетать с каждой парой брюк.
Ответ: 6 комплектов. Например, первая рубашка образует два комплекта, и то же происходит с каждой из двух остальных рубашек.
Задача 3. В кафе можно выбрать комплексный обед из 2 первых и 3 вторых блюд либо один из 4 готовых наборов. Комплексный обед требует последовательного выбора двух блюд, а готовый набор выбирается отдельно. Поэтому здесь используются оба правила.
Ответ: 10 вариантов обеда. Сначала умножили варианты внутри первого способа, затем сложили его с отдельной группой готовых наборов.
При последовательном выборе иногда складывают числа вариантов. Так делают, потому что видят два числа, но забывают: каждый первый выбор можно сочетать с каждым вторым. Проверьте себя вопросом: «Составляется один результат из обоих элементов?» Если да, нужно умножать.
Другую ошибку допускают, когда при выборе одного из взаимоисключающих способов умножают числа. Например, тетрадь и альбом ошибочно превращают в пару, хотя выбран только один предмет. Если комбинации между группами не образуются, используйте сложение.
При перечислении вариантов один и тот же результат могут записать несколько раз. Это происходит, когда порядок записей не установлен: сначала перечисляют часть вариантов с одной рубашкой, потом случайно возвращаются к ней. Разделите список на группы по первому выбору или используйте дерево.
Иногда решение не учитывает ограничения задачи: запрет повторений, невозможное сочетание или условие «только один». Из-за этого в подсчёт попадают лишние варианты. Перед вычислением выпишите, что разрешено, а после вычисления проверьте несколько получившихся комбинаций.
Для правил комбинаторики нужны действия с натуральными числами, прежде всего сложение и умножение. Также важно понимать смысл этих действий: сложение объединяет группы, а умножение считает сочетания шагов. Без этого трудно выбрать правильную схему.
Таблицы и схемы помогают систематически перечислять варианты. Умение вести список по группам связано с построением дерева вариантов и защищает от пропусков. Такой способ особенно полезен, когда чисел мало и ответ можно проверить перебором.
Комбинаторика пригодится при изучении вероятности и статистики. Чтобы найти вероятность события, часто сначала считают общее число возможных исходов. Эти правила также встречаются в задачах на выбор, распределение и составление наборов.
Как понять, применять сложение или умножение?
Сложение применяют, когда выбирают один способ из взаимоисключающих вариантов: например, тетрадь или альбом. Умножение нужно, когда составляют один результат из нескольких последовательных выборов: например, рубашку и брюки.
Что делать, если в одной задаче встречаются оба правила?
Разделите задачу на части. Внутри каждого способа сначала умножьте число вариантов последовательных выборов, а затем сложите результаты для взаимоисключающих способов.
Почему при выборе одежды нужно умножать, а не складывать?
Комплект состоит сразу из двух элементов: рубашки и брюк. Каждую из 3 рубашек можно сочетать с каждой из 2 пар брюк, поэтому получается 3 · 2 комплектов.
Можно ли решить комбинаторную задачу полным перебором?
Да, если вариантов немного. Полный перебор помогает проверить ответ, но при большом числе комбинаций удобнее применить правила сложения и умножения.
Как проверить, что ни один вариант не посчитан дважды?
Разделяйте варианты на понятные группы и перечисляйте их в одном порядке. Можно построить дерево вариантов: каждый конечный путь должен соответствовать одному варианту.
З Занятие 2. Правила комбинаторики
