З Занятие 4. Комплексные числа

Определения и обозначения

Комплексное число — число вида a + bi, расширяющее множество действительных чисел. Здесь a и b — действительные числа, а i — мнимая единица. Такая запись нужна, чтобы работать не только с привычными числами, но и с решениями некоторых уравнений, невозможными в действительных числах.

Мнимая единица — число i, для которого i² = −1. Она не является обычной единицей 1, потому что её квадрат отрицателен. С помощью i записывают новую часть комплексного числа и выполняют действия по специальным правилам.

Действительная часть — число a в записи a + bi. Она показывает, какая обычная, действительная составляющая входит в комплексное число. Например, в числе 6 − 2i действительная часть равна 6.

Мнимая часть — число b в записи a + bi. Это именно коэффициент при i, а не всё слагаемое bi. В числе 6 − 2i мнимая часть равна −2, поэтому знак перед числом тоже нужно учитывать.

Как это устроено

Новые числа понадобились потому, что уравнение x² = −1 не имеет действительного решения: квадрат любого действительного числа неотрицателен. Нельзя найти такое действительное x, чтобы его квадрат стал отрицательным. Поэтому вводят специальное число i, заранее задавая для него свойство i² = −1.

После введения i любое выражение, в котором есть действительная и мнимая составляющие, записывают как a + bi. Например, 4 + 3i состоит из обычной части 4 и части 3i, связанной с мнимой единицей. Такая форма называется стандартной записью и помогает сразу увидеть обе части числа.

При сложении комплексных чисел складывают одинаковые составляющие, потому что действительные и мнимые слагаемые играют разные роли. Так, в выражении (a + bi) + (c + di) можно объединить a с c, а bi с di. Получается правило (a + c) + (b + d)i.

Вычитание устроено так же, только второе число вычитают по частям: (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i. Знаки особенно важны, если у второго числа отрицательная мнимая часть. Поэтому сначала полезно раскрыть скобки, а затем отдельно собрать действительные и мнимые слагаемые.

При умножении раскрывают скобки, как в обычных буквенных выражениях. Среди полученных слагаемых появляется i², но его заменяют на −1, поэтому результат снова приводится к виду a + bi. Комплексное число можно также представить точкой: a откладывают по горизонтальной действительной оси, а b — по вертикальной мнимой оси.

Комплексные числа и действия с ними

Таблица помогает быстро выбрать нужное правило по виду задания. В записи числа сначала найдите коэффициент без i и коэффициент при i. При вычислениях проверяйте, что ответ приведён к стандартному виду a + bi.

Разбор задач

Задача 1. Для комплексного числа 3 − 5i назовём действительную и мнимую части. Нужно внимательно сопоставить выражение со стандартным видом a + bi. Знак минус относится к коэффициенту при i.

1. Сравним 3 − 5i с записью a + bi: вместо a стоит 3, значит, действительная часть равна 3.
2. Коэффициент при i равен −5, поэтому мнимая часть равна −5, а не 5.

Ответ: действительная часть — 3, мнимая часть — −5. Мнимое слагаемое при этом имеет вид −5i.

Задача 2. Выполним сложение и вычитание чисел 2 + 3i и 5 − i. Вначале удобно записать второе число как 5 + (−1)i, чтобы ясно видеть его мнимую часть. Затем действительные и мнимые части обработаем отдельно.

1. Сложение: (2 + 3i) + (5 − i) = (2 + 5) + (3 − 1)i = 7 + 2i.
2. Вычитание: (2 + 3i) − (5 − i) = 2 + 3i − 5 + i.
3. Соберём подобные слагаемые: (2 − 5) + (3 + 1)i = −3 + 4i.

Ответ: сумма равна 7 + 2i, разность равна −3 + 4i. В разности знак перед скобками изменил знак у −i.

Задача 3. Вычислим произведение (3 + 2i)(1 − 4i) и представим результат в виде a + bi. Здесь нельзя перемножать только числа 3 и 1: каждый член первой скобки нужно умножить на каждый член второй. После раскрытия скобок заменим квадрат мнимой единицы.

1. Раскрываем скобки: 3 · 1 + 3 · (−4i) + 2i · 1 + 2i · (−4i).
2. Получаем 3 − 12i + 2i − 8i².
3. Заменяем i² на −1: 3 − 12i + 2i − 8 · (−1) = 3 − 10i + 8.
4. Складываем действительные части: 3 + 8 = 11, поэтому результат равен 11 − 10i.

Ответ: (3 + 2i)(1 − 4i) = 11 − 10i. Проверка состоит в том, что в конце остались только действительная часть и одно слагаемое с i.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что i² = 1. Так происходит, если воспринимать i как обычную единицу. Проверьте себя по определению: именно i² = −1.

Ошибка: терять знак перед мнимой частью при сложении или вычитании. Отрицательное число при i остаётся отрицательным, а минус перед скобками меняет знаки всех её слагаемых. Полезно сначала переписать −i как (−1)i и раскрыть скобки.

Ошибка: при умножении перемножать только коэффициенты, не раскрывая скобки полностью. Тогда пропадают смешанные слагаемые, например 3 · (−4i) или 2i · 1. Проверьте, что каждый член первой скобки умножен на каждый член второй.

Ошибка: путать мнимую часть b с мнимым слагаемым bi. Мнимая часть — это только число перед i, включая его знак. В записи 2 − 7i мнимая часть равна −7, а мнимое слагаемое — −7i.

Связь с другими темами

До изучения комплексных чисел нужны действия с буквенными выражениями, раскрытие скобок, свойства степеней и работа с координатной плоскостью. Эти навыки используются почти без изменений. Новым является правило i² = −1.

Дальше комплексные числа пригодятся при решении квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом. Если действительных корней нет, комплексная запись позволяет описать решения. Так расширяется круг задач, которые можно решить.

Тема показывает, как постепенно расширяется множество чисел: от натуральных к целым, рациональным, действительным, а затем к комплексным. Каждое расширение сохраняет прежние числа и добавляет новые возможности. Поэтому действительные числа считаются частным случаем комплексных: a = a + 0i.

Что запомнить

• Комплексное число записывают в виде a + bi.
• Мнимая единица удовлетворяет равенству i² = −1.
• Число a называют действительной частью, а b — мнимой частью.
• Комплексные числа равны, если равны их действительные и мнимые части.
• При сложении и вычитании отдельно работают с действительными и мнимыми частями.
• При умножении нужно учитывать, что i² = −1.