"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Неравенство помогает сравнивать выражения с переменной и находить все значения, при которых сравнение верно. В отличие от уравнения, ответом обычно бывает не одно число, а множество решений — промежуток или луч. При решении неравенств используют перенос слагаемых, приведение подобных и деление на коэффициент. Главное правило: при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неравенство — запись, в которой два выражения сравниваются знаками >, <, ≥ или ≤. Например, 3x + 1 > 7 показывает, что левое выражение больше правого. Такая запись нужна, когда требуется описать не точное равенство, а условие «больше» или «меньше».
Решение неравенства — значение переменной, при котором неравенство становится верным. Например, число 3 является решением неравенства x + 2 > 4, потому что 3 + 2 > 4. Это понятие помогает проверять отдельные значения после преобразований.
Множество решений — все значения переменной, удовлетворяющие неравенству. Для x + 2 > 4 это все числа, большие 2, а не только одно число. Именно множество решений записывают в окончательном ответе и изображают на числовой прямой.
Равносильные неравенства — неравенства с одним и тем же множеством решений. Если преобразование сохраняет все подходящие значения, новое неравенство равносильно исходному. Это позволяет заменять сложную запись более простой, не теряя ответ.
Решить неравенство — значит найти все допустимые значения переменной, а не одно значение, как при решении уравнения. Например, условию x > 2 подходят 3, 10 и 2,5, то есть бесконечно много чисел. Поэтому результат удобно записывать не одним числом, а условием или промежутком.
На числовой прямой решение изображают лучом от граничной точки. Пустая точка показывает, что граница не входит в ответ: это бывает при знаках > и <. Закрашенная точка означает включение границы и используется при знаках ≥ и ≤.
Прибавление или вычитание одного и того же числа не меняет порядок чисел. Если к обоим числам прибавить, например, 5, разность между ними останется прежней. Поэтому при таком преобразовании множество решений сохраняется, а знак неравенства не меняется.
Умножение или деление на положительное число сохраняет порядок чисел, поэтому знак остаётся прежним. Отрицательное число меняет направление на числовой прямой: положительные значения становятся отрицательными и наоборот. По этой причине при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства переворачивают.
Обычно сначала упрощают выражения: раскрывают скобки и приводят подобные слагаемые. Затем переносят слагаемые, собирают переменную в одной части, определяют знак коэффициента и делят на него. После этого записывают множество решений, отмечают его на прямой и проверяют подходящее число.
Таблица показывает, какие действия сохраняют множество решений и когда нужно менять знак. Ею удобно пользоваться как проверочным правилом во время решения. Особенно внимательно смотрите на знак числа, на которое делите или умножаете.
| Преобразование | Изменение множества решений | Что происходит со знаком |
|---|---|---|
| Прибавление или вычитание одного и того же числа | Множество решений сохраняется | Знак не меняется |
| Умножение или деление на положительное число | Множество решений сохраняется | Знак не меняется |
| Умножение или деление на отрицательное число | Множество решений сохраняется при смене знака | Знак меняется на противоположный |
| Перенос слагаемого в другую часть | Получается равносильное неравенство | Знак слагаемого меняется, знак неравенства — нет |
Нужно освободить переменную x и получить все значения, при которых исходное сравнение верно. Сначала уберём число 5 из левой части, затем разделим коэффициент при x. Коэффициент 3 положительный, поэтому знак останется прежним.
Ответ: x > 3, множество решений — все числа, большие 3.
Сначала перенесём постоянное слагаемое, чтобы оставить переменную часть отдельно. После этого коэффициент при x будет отрицательным. При делении на него знак обязательно изменится.
Ответ: x ≥ 3, множество решений — все числа, не меньшие 3.
Здесь сначала нужно упростить обе части, потому что переменная находится в скобках. Раскрываем скобки внимательно: множитель умножается на каждый член внутри скобок. Затем собираем подобные слагаемые и решаем обычное линейное неравенство.
Ответ: x > 8. Граничная точка 8 пустая, потому что неравенство строгое.
При делении на отрицательное число ученик иногда оставляет знак прежним, механически повторяя правило для положительного числа. Из-за этого получается противоположное множество решений. Проверьте себя на простом примере: если 2 < 5 умножить на −1, должно выйти −2 > −5.
При переносе слагаемого некоторые меняют знак самого неравенства. На самом деле меняется только знак перенесённого слагаемого: например, из x + 4 > 9 получается x > 9 − 4. После переноса можно подставить число из ответа в исходную запись.
Пустую точку иногда закрашивают при строгом знаке или оставляют пустой при нестрогом. Причина ошибки — забывают, входит ли граничное число в решение. Знаки ≥ и ≤ требуют закрашенной точки, а > и < — пустой.
Ещё одна ошибка — записать одно найденное число вместо всего множества или направить луч не в ту сторону. Если x > 4, подходят числа справа от 4, а если x < 4 — слева. Возьмите по одному числу с каждой стороны и проверьте их в исходном неравенстве.
До этой темы нужны свойства числовых неравенств, действия с отрицательными числами, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. Без этих навыков легко ошибиться в вычислениях и знаках.
С уравнениями неравенства связаны общими алгебраическими преобразованиями. Главное отличие проявляется при умножении или делении на отрицательное число: в неравенстве знак меняется, а в уравнении знак равенства остаётся тем же.
Дальше эти знания пригодятся при решении систем неравенств, исследовании промежутков и построении графиков. Несколько условий нужно будет объединять, сравнивая их множества решений.
Почему при делении на отрицательное число знак неравенства меняется?
При умножении или делении чисел на отрицательное число их порядок на числовой прямой меняется на противоположный. Например, из 2 < 5 после умножения на −1 получается −2 > −5.
Чем решение неравенства отличается от решения уравнения?
Уравнение чаще всего имеет одно или несколько отдельных решений, а неравенство задаёт множество подходящих значений. Поэтому ответом может быть целый промежуток или луч.
Как понять, какую точку закрашивать на числовой прямой?
Если граничное число входит в ответ, ставят закрашенную точку: это знаки ≥ или ≤. При знаках > или < точка пустая, потому что граница в множество решений не входит.
Нужно ли менять знак неравенства при переносе слагаемого?
Нет, знак неравенства при переносе не меняется. Меняется только знак перенесённого слагаемого, потому что фактически к обеим частям прибавляют противоположное число.
Как проверить, правильно ли найдено множество решений?
Выберите число из полученного промежутка и подставьте его в исходное неравенство. Затем проверьте граничную точку: она должна входить в ответ только при нестрогом знаке.
З Занятие 4. Решение неравенств
