"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Числа помогают считать предметы и записывать результаты измерений. Чтобы измерить длину, массу, время или другую величину, её сравнивают с выбранной единицей — например, метром или килограммом. Поэтому результат измерения записывают не одним числом, а числом вместе с единицей. При смене единицы числовое значение меняется, но сама величина остаётся прежней. Это знание нужно, чтобы переводить единицы, сравнивать величины и выполнять с ними вычисления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Число — результат счёта или измерения, который используют для записи количества объектов или значения измеряемого свойства. Например, число 6 может обозначать шесть книг или результат измерения. Это понятие нужно, чтобы выражать количество и выполнять вычисления с ним.
Единица измерения — эталон, с которым сравнивают величину при измерении. Например, длину можно сравнить с метром, а массу — с килограммом. Единица позволяет разным людям измерять величины одинаковым способом и сопоставлять результаты.
Числовое значение величины — число, показывающее, сколько единиц измерения содержится в величине. Например, в длине 3 м числовое значение относительно метра равно 3. Оно помогает записать результат измерения числом, но отдельно от единицы не всегда сообщает, о какой величине и размере идёт речь.
Именованное число — запись числового значения вместе с названием единицы измерения, например 5 кг. В такой записи сразу указано и число, и измеряемая величина с выбранной единицей. Именованные числа нужны, чтобы верно понимать результаты измерений и выполнять действия с величинами.
При счёте предметов число показывает, сколько отдельных объектов мы насчитали: например, 4 тетради. Такое количество не зависит от выбора единицы измерения. При измерении же мы сравниваем свойство объекта с условным эталоном, поэтому результат зависит от того, какой эталон выбран. Один и тот же стол можно измерить в метрах или сантиметрах, и числовые записи будут различаться.
Результат измерения нельзя точно записать без единицы, потому что одно и то же число может соответствовать разным размерам. Например, 5 см и 5 м отличаются в сто раз, хотя числовое значение у них одинаковое. Название единицы уточняет, с каким эталоном сравнивали величину. Поэтому число и единица вместе образуют понятную запись результата.
Одна и та же величина получает разные числовые значения, когда её выражают в разных единицах. В одном метре содержится 100 сантиметров, поэтому длина 1 м записывается как 100 см. Чем мельче выбранная единица, тем больше таких единиц помещается в величине. Сама длина при этом не меняется: меняется только способ её выражения.
Чтобы перевести величину, нужно знать соотношение между единицами. Если переходят к более мелкой единице, числовое значение умножают на количество мелких единиц в одной крупной: 3 м = 3 · 100 см = 300 см. Если переходят к более крупной единице, делят на соответствующее число: 5600 г = 5600 : 1000 кг = 5,6 кг. При составной записи, например 5 кг 600 г, остаток можно оставить в граммах.
Сравнивать и складывать величины удобнее после приведения к одинаковым единицам. Иначе числовые значения относятся к разным эталонам и напрямую сравнивать их нельзя. Например, 3 м больше 250 см, хотя число 3 меньше числа 250: после перевода получаем 300 см и 250 см. При сложении действует тот же принцип: сначала переводим метры, сантиметры и другие единицы в одну выбранную единицу.
| Вид величины | Основная единица | Другие единицы и их соотношения | Пример именованного числа |
|---|---|---|---|
| Длина | метр (м) | 1 км = 1000 м; 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм | 5 м |
| Масса | килограмм (кг) | 1 т = 1000 кг; 1 кг = 1000 г | 5 кг |
| Время | секунда (с) | 1 мин = 60 с; 1 ч = 60 мин; 1 сут = 24 ч | 5 мин |
| Площадь | квадратный метр (м²) | 1 м² = 100 дм² = 10 000 см² | 5 м² |
| Объём | кубический метр (м³) | 1 м³ = 1000 дм³; 1 дм³ = 1 л | 5 м³ |
Сначала найди в таблице нужную величину и соотношение её единиц. Затем реши, в какую единицу удобнее перевести значение для сравнения или вычисления. Для площади и объёма учитывай, что соотношения единиц здесь относятся к квадратным и кубическим мерам.
Задача 1. Определить, что обозначают записи 8, 8 м и 8 кг, и указать, какие из них являются именованными числами. Нужно различить само число и число, записанное вместе с единицей измерения. Запись 8 без уточнения может обозначать количество, но не задаёт результат измерения конкретной величины. Разберём каждую запись отдельно.
Ответ: 8 — число без указанной единицы; 8 м и 8 кг — именованные числа.
Задача 2. Выразить 3 м 45 см в сантиметрах и 5600 г в килограммах и граммах. Для перевода нужно вспомнить, сколько мелких единиц содержится в крупной: 1 м = 100 см, 1 кг = 1000 г. В первом случае метры переводим в сантиметры, во втором выделяем целое число килограммов и остаток граммов. Так мы сохраняем величину, меняя только её запись.
Ответ: 3 м 45 см = 345 см; 5600 г = 5 кг 600 г.
Задача 3. Сравнить 2 м 8 см и 195 см, затем найти длину ломаной из отрезков 1 м 35 см, 78 см и 2 дм. Сравнение и сложение проще выполнить в сантиметрах. Переведём каждую длину, пользуясь соотношениями 1 м = 100 см и 1 дм = 10 см. После этого останется сравнить числа с одинаковой единицей или сложить их.
Ответ: 2 м 8 см > 195 см; длина ломаной равна 233 см, или 2 м 33 см.
Сравнивают числа, не учитывая единицы: например, считают, что 3 м меньше 250 см, потому что 3 меньше 250. Так происходит, когда сравнивают только числовые значения, забывая, что метр крупнее сантиметра. Приведи оба значения к сантиметрам: получится 300 см и 250 см. Проверка сразу показывает, что 3 м больше.
При переводе в более мелкие единицы делят, хотя нужно умножать. Ошибку допускают, если не замечают, что в одной крупной единице содержится много мелких: например, в метре 100 сантиметров. Запомни направление: переход к мелким единицам увеличивает число, к крупным — уменьшает. Проверь результат обратным переводом.
Записывают результат измерения только числом и теряют единицу измерения. Например, запись 12 не сообщает, измерена ли длина в сантиметрах или метрах. Это часто случается, если при оформлении ответа сосредоточиться только на вычислении. Проверь, что после числа указана подходящая единица и она соответствует вопросу задачи.
Складывают или вычитают величины с разными единицами без предварительного перевода. Например, запись 3 м + 40 см нельзя вычислить как обычное сложение чисел 3 и 40, потому что единицы разные. Сначала переведи оба слагаемых в метры или сантиметры. Затем сложи числовые значения и укажи единицу результата.
Для работы с величинами нужны навыки счёта и сравнения натуральных чисел, а также понимание разрядного состава числа. Эти знания помогают выполнять умножение и деление при переводе единиц. Полезно также внимательно читать обозначения, чтобы не путать, например, метры с сантиметрами.
Перевод единиц пригодится в текстовых задачах на длину, массу, время, площадь и объём. Часто данные в условии записаны в разных единицах, поэтому перед вычислениями их приходится приводить к общим. Это помогает правильно выбрать действие и проверить, подходит ли ответ к вопросу задачи.
Умение переводить единицы понадобится при вычислении периметра, площади и объёма. Оно также связано с десятичными дробями: результат перевода в крупные единицы иногда записывают дробным числом, например 5600 г = 5,6 кг. Поэтому понимание соотношений единиц помогает увереннее работать с такими задачами.
Почему запись 7 без единицы может быть числом, но не результатом измерения длины?
Запись 7 может обозначать число предметов, например семь карандашей. Но для результата измерения длины нужно знать, в каких единицах она измерена: 7 м и 7 см — разные длины. Поэтому без единицы запись не задаёт длину точно.
Почему 1 м и 100 см — это одна и та же величина?
В одном метре содержится 100 сантиметров. Значит, отрезок длиной 1 м и отрезок длиной 100 см имеют одинаковую длину, хотя числовые значения записаны по-разному.
Как понять, умножать или делить при переводе единиц?
Если переходишь к более мелким единицам, умножай числовое значение: в одной крупной единице помещается несколько мелких. Если переходишь к более крупным единицам, дели. Например, 3 м = 300 см, а 300 см = 3 м.
Можно ли складывать 3 м и 40 см сразу?
Сначала приведи обе величины к одной единице измерения. Например, 3 м = 300 см, поэтому 3 м + 40 см = 300 см + 40 см = 340 см. Результат можно записать как 3 м 40 см.
Чем числовое значение отличается от самой величины?
Числовое значение показывает, сколько единиц измерения содержится в величине. Сама величина — это измеряемое свойство, например длина отрезка. У одной и той же длины числовые значения будут разными в метрах и сантиметрах.
Числа и величины
