Деление многозначных чисел

Определения и обозначения

Делимое — число, которое делят. В записи 864 : 24 = 36 делимое стоит слева от знака деления, здесь это 864. Оно показывает всё количество, которое нужно распределить или разделить на равные группы.

Делитель — число, на которое делят. В записи 864 : 24 = 36 делитель стоит после знака деления, здесь это 24. Он задаёт размер каждой группы или количество, на которое делят; делить на ноль нельзя, потому что деление на ноль не имеет результата.

Частное — результат деления, записываемый справа от знака равенства. Деление называют точным, если частное умножить на делитель — получится делимое без добавления остатка. Если после деления остаётся часть, которую уже нельзя разделить нацело, получают частное с остатком.

Остаток — число, которое остаётся после того, как из делимого вычли все полные группы, соответствующие делителю. Он может быть равен нулю при точном делении или быть положительным при делении с остатком. Всегда выполняется условие 0 ≤ остаток < делитель: если остаток не меньше делителя, можно выделить ещё одну полную группу.

Как это устроено

Деление начинают со старших цифр делимого, потому что они обозначают самые крупные разряды и определяют старшую цифру частного. Первая цифра делимого иногда меньше делителя, поэтому делитель в ней не помещается ни одного раза. Тогда берут первые две цифры, а если и их недостаточно — первые три, пока не получится число не меньше делителя. Эта часть числа называется первым неполным делимым.

Чтобы найти очередную цифру частного, выясняют, сколько раз делитель помещается в текущем неполном делимом. Для этого можно сначала прикинуть ответ, а затем обязательно проверить подбор умножением: произведение делителя и выбранной цифры не должно превышать неполное делимое. Если произведение оказалось больше, цифру уменьшают. Затем произведение вычитают из неполного делимого — так находят остаток текущего шага.

После вычитания к остатку приписывают следующую цифру делимого. Это не случайное действие: делимое состоит из разрядов, и при переходе к следующему разряду остаток объединяют с очередной цифрой исходного числа. Получившееся число становится новым неполным делимым. Если цифр делимого больше нет, новых неполных делимых уже не образуют.

Количество цифр в частном связано с тем, с какого разряда делимого начинается деление. Первая цифра частного записывается над последней цифрой первого неполного делимого, поэтому место записи показывает её разряд. Дальше каждое снесение цифры даёт следующий разряд частного. Когда очередное неполное делимое меньше делителя, в этом разряде частного нужно записать 0: делитель помещается в него ноль раз, но сам разряд пропускать нельзя.

Деление завершают после обработки последней цифры делимого. Получившийся остаток должен быть меньше делителя, иначе можно было бы выделить ещё одну группу и продолжить деление. Для проверки умножают делитель на частное и прибавляют остаток; при верном решении получают делимое. При точном делении остаток равен нулю, поэтому достаточно проверить произведение делителя и частного.

Этапы письменного деления многозначных чисел

Пользуйся таблицей как маршрутом: на каждом шаге переходи к следующему этапу, не пропуская проверку произведения. Если цифры делимого ещё остались, после вычитания снеси следующую цифру. В конце проверь равенство с делимым и убедись, что остаток меньше делителя.

Разбор задач

Выполнить деление 864 : 24.

1. Сравним первые цифры делимого с делителем. Число 8 меньше 24, поэтому берём первые две цифры: 86 — это первое неполное делимое.
2. Определим цифру частного: 24 помещается в 86 три раза, потому что 24 × 3 = 72, а 24 × 4 = 96 больше 86. Запишем 3 и вычтем: 86 − 72 = 14.
3. Снесём следующую цифру делимого, 4: из остатка 14 получим новое неполное делимое 144. В нём 24 помещается 6 раз, поскольку 24 × 6 = 144.
4. Вычтем 144 и получим 0. Все цифры делимого использованы, значит частное равно 36; проверка: 24 × 36 = 864.

Ответ: 36.

Выполнить деление 50 240 : 16.

1. Первая цифра 5 меньше 16, поэтому начнём с 50. В 50 число 16 помещается 3 раза: 16 × 3 = 48, остаток равен 2.
2. Снесём 2 и получим 22. Делитель помещается здесь 1 раз: 22 − 16 = 6. Снесём следующую цифру 4: новое неполное делимое — 64.
3. В 64 делитель помещается 4 раза, потому что 16 × 4 = 64. Остаток равен 0; снесём следующую цифру 0 и получим 0, которое меньше 16.
4. В этом разряде частного запишем 0: пропускать его нельзя. Последняя цифра делимого уже использована, значит частное — 3140; проверка: 16 × 3140 = 50 240.

Ответ: 3140.

Выполнить деление 74 625 : 315 и записать результат с остатком.

1. Число 74 меньше 315, поэтому первое неполное делимое — 746. В нём 315 помещается 2 раза: 315 × 2 = 630, а × 3 уже больше 746. Вычтем 630 и получим 116.
2. Снесём 2: получим 1162. Делитель помещается 3 раза, так как 315 × 3 = 945, а × 4 = 1260 больше 1162. Остаток после вычитания равен 217.
3. Снесём последнюю цифру 5 и получим 2175. В нём 315 помещается 6 раз: 315 × 6 = 1890, а × 7 = 2205 больше 2175.
4. Вычтем 1890 и получим остаток 285. Цифры делимого закончились; 285 меньше 315, значит деление завершено. Проверка: 315 × 236 + 285 = 74 625.

Ответ: 236, остаток 285.

Типичные ошибки

• Начинают деление с первой цифры, хотя она меньше делителя. Ошибка возникает, если не проверять, помещается ли делитель в выбранную часть делимого хотя бы один раз. Возьми больше первых цифр, пока не получится неполное делимое не меньше делителя; например, при делении на 24 число 8 недостаточно, а 86 подходит.

• Подбирают слишком большую цифру частного, и произведение делителя на неё превышает неполное делимое. Такое бывает при поспешной оценке, без проверки умножением. Перемножь делитель и выбранную цифру до вычитания: если произведение больше неполного делимого, уменьши цифру.

• Пропускают ноль в частном, когда очередное неполное делимое меньше делителя. Часто кажется, что ноль ничего не меняет, но он сохраняет место следующих цифр и разрядный состав частного. Проверь, что каждому следующему разряду делимого соответствует цифра частного; если делитель не помещается, запиши 0.

• Считают остатком любое число после последнего вычитания, не проверяя его величину, или забывают проверку умножением. Если остаток не меньше делителя, деление ещё не завершено; если равенство проверки не выполняется, вероятна ошибка в вычислениях. Убедись, что 0 ≤ остаток < делитель и что делимое = делитель × частное + остаток.

Связь с другими темами

Для письменного деления нужны таблица умножения, сложение и вычитание столбиком, умножение многозначных чисел и понимание разрядов. Эти знания помогают подбирать цифру частного, выполнять вычитания и не терять разряды. Деление используют в текстовых задачах и при переводе единиц измерения, а позже оно понадобится при изучении дробей, отношений и уравнений. Поэтому навык деления помогает не только вычислять, но и разбираться в более сложных математических задачах.

Что запомнить

• Деление начинают со старших разрядов делимого.
• Первое неполное делимое должно быть не меньше делителя.
• Каждую цифру частного проверяют умножением и вычитанием.
• После вычитания к остатку сносят следующую цифру делимого.
• Ноль в частном нельзя пропускать.
• При делении с остатком остаток меньше делителя.
• Проверка: делимое = делитель × частное + остаток.