"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Письменное деление помогает делить многозначные числа по разрядам, не теряя значения каждой цифры. Делимое постепенно превращают в неполные делимые: каждое из них делят на делитель, найденную цифру частного проверяют умножением, затем вычитают и сносят следующую цифру. Если деление заканчивается остатком, он должен быть меньше делителя. Такой порядок действий помогает выполнять вычисления и проверять результат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Письменное деление — запись и последовательность действий, позволяющие делить многозначные числа по разрядам. Вместо одного большого вычисления выполняют несколько небольших шагов и записывают их столбиком. Такой способ помогает не перепутать порядок цифр и разряды частного. Он особенно удобен, когда числа трудно разделить устно.
Неполное делимое — часть делимого, которую на данном шаге делят на делитель. Сначала это несколько первых цифр исходного числа, а затем число, полученное после снесения следующей цифры. Неполное делимое показывает, сколько материала для деления уже рассмотрено. С ним сравнивают делитель, чтобы найти очередную цифру частного.
Цифра частного — цифра, полученная на одном шаге деления и записанная в соответствующем разряде частного. Она показывает, сколько раз делитель помещается в текущем неполном делимом. Каждая такая цифра занимает своё место: единиц, десятков, сотен и так далее. Поэтому при делении важно не только подобрать цифру, но и записать её в нужный разряд.
Остаток — число, которое может остаться после деления и всегда должно быть меньше делителя. Он показывает, сколько единиц не удалось объединить в целые группы, равные делителю. Остаток получают вычитанием найденного произведения из неполного делимого. Это условие помогает проверить, что деление завершено и частное подобрано верно.
Многозначное делимое начинают рассматривать со старшего разряда, потому что цифры в начале числа имеют наибольшую разрядную стоимость. Если сразу брать младшие цифры, нельзя будет правильно определить, где должна начинаться запись частного. Первых цифр берут столько, чтобы образовалось число не меньше делителя. Эта часть становится первым неполным делимым и задаёт место первой цифры частного.
Чтобы определить первую цифру частного, выясняют, сколько раз делитель помещается в неполном делимом. Искомая цифра должна быть от 1 до 9, а произведение делителя на неё не должно быть больше неполного делимого. Если делитель однозначный, цифру часто находят по таблице умножения; при многозначном делителе удобно сначала оценить результат, а затем проверить умножением. Такая проверка нужна, чтобы не вычесть слишком большое число.
После подбора цифры её умножают на делитель и вычитают полученное произведение из неполного делимого. Вычитание показывает, сколько осталось после выделения наибольшего возможного числа групп. К этой разности сносят следующую цифру делимого, потому что она добавляет к остатку единицы следующего разряда. Так получается новое неполное делимое, и последовательность действий повторяется.
Иногда после снесения цифры новое неполное делимое всё ещё меньше делителя. Значит, делитель не помещается в нём ни одного раза, поэтому соответствующая цифра частного равна нулю. Этот ноль нельзя пропускать: он удерживает правильное место следующих цифр частного. После записи нуля сносят следующую цифру и продолжают деление, если цифры делимого ещё остались.
В конце деления может остаться число, меньшее делителя: оно уже не образует ещё одной целой группы. Проверку проводят равенством: делимое равно произведению делителя и частного плюс остаток. Произведение показывает часть делимого, распределённую по полным группам, а прибавленный остаток возвращает то, что осталось. Если равенство верно и остаток меньше делителя, результат согласуется с условиями деления.
| Этап | Что делаем | На что обратить внимание | Результат |
|---|---|---|---|
| Выделение первого неполного делимого | Определяем, с какой цифры делимого можно начать деление | Первое неполное делимое должно быть не меньше делителя | Начало записи частного |
| Подбор цифры частного | Оцениваем, сколько раз делитель помещается в неполном делимом | Произведение не должно превышать неполное делимое | Очередная цифра частного |
| Вычитание | Умножаем делитель на найденную цифру и вычитаем произведение | Полученная разность не может быть отрицательной | Остаток текущего шага |
| Снесение следующей цифры | Приписываем к разности следующую цифру делимого | Если полученное число меньше делителя, в частном появляется ноль | Новое неполное делимое |
| Завершение и проверка | Повторяем действия до последней цифры и проверяем результат | Остаток меньше делителя | Частное и, если нужно, остаток |
Пользуйся таблицей как порядком действий: переходи к следующему этапу только после проверки текущего. Если в неполном делимом делитель не помещается, не пропускай ноль в частном. В конце отдельно проверь остаток и равенство для деления с остатком.
Здесь делитель однозначный, поэтому на каждом шаге нужно найти цифру, которая при умножении на 6 не превосходит текущее неполное делимое. Начинаем с цифры тысяч: 7 больше 6, значит, первую цифру частного можно записать сразу в разряд тысяч. Затем после каждого вычитания сносим следующую цифру числа 7248.
В частном получились цифры 1, 2, 0 и 8 именно в таком порядке. Ноль необходим, потому что после снесения цифры 4 делитель в текущем числе не помещался. Остаток равен нулю, значит, деление выполнилось без остатка. Ответ: 7248 : 6 = 1208.
Первая цифра 5 меньше делителя 24, поэтому начинаем с первых двух цифр: 58. Теперь нужно найти наибольшую цифру, произведение которой на 24 не превышает 58. При каждом следующем шаге проверяем произведение так же, чтобы разность оставалась неотрицательной.
Цифры частного 2, 4 и 3 записаны по порядку, поэтому частное равно 243. На каждом шаге выбранное произведение не превышало неполное делимое. Нулевой остаток означает, что все число разделилось на равные группы без остатка. Ответ: 5832 : 24 = 243.
Первые две цифры числа, 73, меньше делителя 306, поэтому первое неполное делимое — 734. Ищем цифры частного, проверяя умножением, что произведение не превосходит текущее неполное делимое. После обработки всех цифр остаток может сохраниться, но он должен быть меньше 306.
Цифры частного дают 239, а оставшееся число 291 меньше делителя 306. Проверим равенством: 306 × 239 = 73134, затем 73134 + 291 = 73425. Получили исходное делимое, значит, частное и остаток указаны верно. Ответ: 73425 : 306 = 239 (ост. 291).
Начинать деление с первой цифры, хотя она меньше делителя, — значит, записать первую цифру частного не в том разряде. Так ошибаются, когда забывают сначала сравнить первые цифры делимого с делителем. Проверь себя: первое неполное делимое должно быть не меньше делителя. Если оно меньше, захвати следующую цифру делимого.
Слишком большая цифра частного приводит к тому, что произведение делителя на неё больше неполного делимого. Ошибка возникает, если цифру угадывают, но не проверяют умножением. Перед вычитанием сравни произведение с неполным делимым: оно должно быть не больше него. Если произведение оказалось больше, уменьши цифру частного.
Пропуск нуля в частном смещает все цифры, которые записываются после него. Обычно ноль забывают, потому что воспринимают его как отсутствие результата, хотя он сохраняет место разряда. Проверяй, соответствует ли каждая цифра частного своему шагу. Если очередное неполное делимое меньше делителя, запиши в частное 0 и только потом сноси следующую цифру.
Остаток нельзя оставлять без проверки: число, равное делителю или большее него, показывает, что деление на этом шаге не завершено. Иногда также забывают прибавить остаток при проверке, поэтому равенство не сходится. Убедись, что остаток меньше делителя, затем вычисли произведение делителя на частное и прибавь остаток. Результат должен совпасть с делимым.
Для письменного деления нужны таблица умножения, письменное сложение и вычитание, знание разрядного состава числа и связь умножения с делением. Эти умения помогают подбирать цифру частного и выполнять проверку. Деление больших чисел пригодится в текстовых задачах, вычислениях с многозначными числами и при работе с единицами измерения. Позже тот же порядок действий используют при делении десятичных дробей и в многошаговых вычислениях.
С какой цифры начинать деление многозначного числа?
Начинай со старшего разряда делимого и бери столько первых цифр, чтобы получившееся число было не меньше делителя. Если первая цифра уже не меньше делителя, первое неполное делимое состоит из неё.
Как понять, какую цифру записать в частном?
Найди наибольшую цифру, на которую можно умножить делитель так, чтобы произведение не превысило неполное делимое. Можно оценить цифру или проверить варианты умножением.
Почему в частном иногда нужно записывать ноль?
Ноль показывает, что в соответствующем разряде делитель не помещается в текущее неполное делимое ни разу. Если его пропустить, цифры частного сместятся и получится неверное число.
Можно ли получить остаток, равный делителю или больше него?
Нет, остаток всегда меньше делителя. Если он равен делителю или больше, значит, частное на этом шаге подобрано неверно и можно выделить ещё одну целую группу.
Как проверить правильность письменного деления?
Умножь делитель на частное и прибавь остаток, если он есть. Полученное число должно совпасть с делимым; кроме того, остаток должен быть меньше делителя.
Делим большие числа
