"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Деление чисел с нулями становится проще, если делимое и делитель оканчиваются нулями: у обоих чисел можно убрать одинаковое количество конечных нулей. Частное при этом не изменится, потому что оба числа разделили на одно и то же число. После сокращения дели обычным способом, а при делении столбиком не забывай записывать нуль в частном, если цифры не хватает для следующего разряда. Результат проверяй умножением на исходный делитель.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деление чисел, оканчивающихся нулями — это деление, которое можно упростить, убрав одинаковое количество конечных нулей у делимого и делителя. Делимое — число, которое делят, а делитель — число, на которое делят. Такое упрощение удобно, потому что после него часто остаются меньшие числа и считать становится легче.
Сокращение делимого и делителя на 10 означает, что оба числа делят на 10, то есть убирают у каждого по одному конечному нулю. Частное при этом не меняется: разделить оба числа на одно и то же ненулевое число — значит сохранить их отношение. Это правило позволяет заменить сложное деление более простым, не меняя ответ.
Нуль в записи частного — это цифра, которую записывают в нужном разряде результата при делении столбиком, если соответствующая часть делимого меньше делителя. Нуль показывает, что в этом разряде частного нет единиц. Он нужен, чтобы цифры частного сохранили правильное положение и результат не стал в десять или сто раз меньше.
Рассмотрим 8400 : 70. Число 8400 и число 70 можно разделить на 10: получим 840 и 7, поэтому 8400 : 70 = 840 : 7. Это работает потому, что делимое и делитель изменились одинаково, а их отношение осталось прежним. Теперь вычисление проще: 840 : 7 = 120.
Количество нулей для сокращения определяют отдельно в каждом числе: считают, сколько нулей стоит именно в конце делимого и делителя. Берут меньшее из этих двух количеств, потому что у обоих чисел можно убрать только общее число конечных нулей. Например, в 93600 и 300 общих конечных нулей два, поэтому можно разделить оба числа на 100. Нули внутри записи числа не трогают: они могут обозначать разряд и не являются конечными.
После сокращения выполняют деление столбиком обычным способом. Сначала слева направо выбирают первую часть делимого, которая не меньше делителя: иначе делитель не поместится в ней ни одного раза. Определяют, сколько раз делитель содержится в этой части, записывают цифру частного и вычитают полученное произведение. Затем сносят следующую цифру делимого и продолжают вычисление.
Иногда после сноса очередной цифры получается неполное делимое меньше делителя. Тогда делитель не помещается в нём ни одного раза, поэтому цифра частного в этом разряде равна нулю. Её обязательно записывают, а затем сносят следующую цифру и продолжают деление. Если пропустить этот нуль, последующие цифры частного займут не свои разряды.
Проверяют деление обратным действием — умножением. Для проверки найденное частное умножают на делитель из первоначального примера, а не на сокращённый. Если произведение равно исходному делимому, вычисление верно. Если числа не совпали, нужно проверить деление и запись цифр частного, особенно нулевые разряды.
| Ситуация | Что сделать | Пример |
|---|---|---|
| Делимое и делитель оканчиваются нулями | Одинаково сократить конечные нули у обоих чисел | 8400 : 70 = 840 : 7 |
| В частном при делении столбиком возникает нулевой разряд | Записать нуль на месте разряда, где делитель не помещается в неполном делимом | В 6008 : 8 частное равно 751 |
| Делитель не оканчивается нулём | Если общих конечных нулей нет, делить обычным способом | 6008 : 8 |
| Проверка найденного частного | Умножить частное на исходный делитель | 120 · 70 = 8400 |
| Нули есть только в конце делимого | Не сокращать их отдельно; выполнить деление по обычному алгоритму | 1200 : 8 |
Сначала найди, есть ли у делимого и делителя одинаковые конечные нули; сокращай только их. Если сокращение невозможно, переходи к обычному делению столбиком и следи за разрядами частного. Закончив вычисление, проверь ответ умножением на делитель из исходного примера.
Задача 1. Вычислите 8400 : 70. Оба числа оканчиваются нулями, значит, можно упростить деление.
Задача 2. Вычислите 93600 : 300. В конце первого числа три нуля, второго — два; общее количество конечных нулей равно двум.
Задача 3. Вычислите 6008 : 8 столбиком и проверьте результат. Здесь делитель не оканчивается нулём, поэтому сокращать нечего.
Ошибка — убрать конечные нули только у делимого, оставив делитель без изменений. Так меняется отношение чисел, а значит, изменяется и частное; иногда это делают, потому что замечают нули только в первом числе. Чтобы проверить себя, убедись, что делимое и делитель разделены на одно и то же число. Например, из 8400 : 70 нельзя получить 840 : 70.
Нельзя сокращать нули, которые стоят не в конце числа: сокращение возможно только для общих конечных нулей. Ошибку допускают, когда считают любой нуль в записи одинаково подходящим для удаления. Перед вычислением проверь место каждого нуля и сравни их количество в конце обоих чисел. Например, в числе 6008 нуль не конечный, поэтому убирать его нельзя.
Если при делении столбиком пропустить нуль в частном, следующие цифры сместятся влево. Так происходит, когда ученик видит, что делитель не помещается в очередной части делимого, и просто переходит дальше. Проверяй, есть ли в частном соответствующий разряд: если в нём делитель не помещается ни разу, запиши 0. Затем умножь частное на делитель — неверное положение цифр обычно обнаружится.
При проверке нельзя умножать частное только на сокращённый делитель: так проверяется уже изменённая запись, а не первоначальный пример. Эта ошибка возникает потому, что сокращённые числа использовались в вычислении и их легко принять за исходные. Сверься с примером до сокращения и умножь частное именно на первоначальный делитель. Произведение должно совпасть с первоначальным делимым.
Для деления столбиком понадобятся знание таблицы умножения и понимание разрядного состава натуральных чисел: единиц, десятков, сотен и других разрядов. Сокращение делимого и делителя опирается на правило, что деление обоих чисел на одно и то же ненулевое число сохраняет частное. Это умение пригодится при вычислениях с дробями и упрощении числовых выражений. Проверка деления связана с умножением: умножение возвращает от частного к делимому.
Почему при сокращении нулей частное не меняется?
Деление обоих чисел на одно и то же ненулевое число не меняет их отношение. Например, 8400 : 70 = 840 : 7, потому что делимое и делитель разделили на 10.
Можно ли убрать нули, если они есть только у делимого?
Нет, при сокращении нужно делить и делимое, и делитель на одно и то же число. Если изменить только делимое, частное изменится.
Сколько конечных нулей можно сократить?
Можно убрать столько нулей, сколько одинаково стоит в конце и делимого, и делителя. Например, в выражении 93600 : 300 можно сократить два общих конечных нуля.
Зачем при делении столбиком иногда записывать нуль в частном?
Нуль показывает, что в соответствующем разряде частного нет единиц данного разряда. Если его пропустить, остальные цифры сместятся и получится другое число.
Как проверить деление, если перед вычислением сокращали нули?
Умножь найденное частное на делитель из первоначального примера, до сокращения. Если деление выполнено верно, произведение будет равно исходному делимому.
Делим числа с нулями
