Длина и её измерение

Определения и обозначения

Длина — числовая характеристика отрезка, показывающая, насколько он протяжён. Например, если один отрезок можно мысленно уложить вдоль другого несколько раз, длины этих отрезков различаются. Длина помогает сравнивать отрезки не только на глаз, но и с помощью числа. Так можно точно описывать размеры предметов и расстояния.

Единица длины — выбранный эталон, с которым сравнивают длину отрезка. Эталоном может быть сантиметр, метр или другая установленная единица. Без общей единицы два человека могли бы измерить один отрезок разными мерами и получить несопоставимые результаты. Поэтому единицы нужны, чтобы измерения можно было понимать и сравнивать.

Измерение длины — определение того, сколько единичных отрезков укладывается в данном отрезке. Если единичный отрезок укладывается ровно несколько раз, длина выражается целым числом таких единиц. Если не укладывается целое число раз, выбирают более мелкую единицу или записывают приближённый результат. Это определение объясняет, откуда берётся числовое значение длины.

Линейка — прибор с нанесённой шкалой для измерения длины. На шкале есть отметки и числа, показывающие расстояния в выбранных единицах. Линейка позволяет сравнить отрезок с единицей, не прикладывая её много раз вручную. Чтобы получить верный результат, нужно правильно совместить шкалу с отрезком и прочитать показание.

Как это устроено

Длину относят к свойствам отрезка, потому что она описывает его протяжённость от одного конца до другого. У отрезка есть границы — два конца, поэтому можно определить, какое расстояние их разделяет. Сравнивая отрезки, мы выясняем, какой из них длиннее, короче или равен другому. Одного взгляда не всегда достаточно: если отрезки расположены по-разному или отличаются незначительно, точное сравнение требует измерения.

Выбор единичного отрезка превращает сравнение в получение числа: мы узнаём, сколько раз выбранная мера помещается в измеряемом отрезке. Один и тот же отрезок может иметь разные числовые значения при разных единицах, хотя сама его длина не меняется. Например, метрами и сантиметрами описывают одну и ту же протяжённость, но число сантиметров в сто раз больше числа метров. Поэтому значение длины всегда записывают вместе с единицей.

Линейку совмещают с началом отрезка, чтобы показание у второго конца сразу показывало длину. Обычно начало отрезка ставят у нулевой отметки: тогда не нужно выполнять дополнительное вычитание. Если совместить его с краем линейки, который не совпадает с нулём, одно показание у конца отрезка окажется недостаточным. В таком случае пришлось бы найти разность между отметками обоих концов.

В метрической системе единицы связаны десятичными соотношениями, поэтому переходить между ними удобно. Миллиметр меньше сантиметра в десять раз, сантиметр меньше дециметра в десять раз, а дециметр меньше метра в десять раз. Километр используют для больших расстояний: в одном километре тысяча метров. Такие связи позволяют менять единицу, сохраняя ту же длину и получая удобную запись.

Цена деления — расстояние, которому соответствует промежуток между соседними отметками шкалы. Если прибор размечен только крупными делениями, маленькие изменения длины по нему трудно определить точно. При чтении шкалы также можно слегка ошибиться, поэтому итог не всегда совпадает с истинной длиной до мельчайшей доли. В таких случаях результат считают приближённым и указывают с точностью, которую позволяет прибор.

Единицы длины и их соотношения

Выбирай единицу по масштабу измеряемого объекта: для мелких деталей удобны миллиметры, для больших расстояний — километры. Если нужно сложить или сравнить величины, сначала переведи их в одну единицу. Связь каждой единицы с метром помогает выполнить перевод и проверить, должно ли числовое значение увеличиться или уменьшиться.

Разбор задач

Задача 1. Измерьте длину отрезка на рисунке линейкой с ценой деления 1 мм и запишите результат с единицей измерения. Сам рисунок в условии не задан, поэтому числовое показание зависит от изображённого отрезка. Разберём порядок измерения, который позволяет получить это показание.

1. Найди на линейке нулевую отметку и приложи её к одному концу отрезка. Проверь, что шкала направлена вдоль отрезка, а не наклонена относительно него. Это нужно, чтобы деления показывали расстояние именно между его концами.

2. Посмотри, на какую отметку приходится второй конец отрезка. При цене деления 1 мм длину можно определить с точностью до миллиметра. Если конец расположен между отметками, оцени его положение, но не приписывай прибору точность, которой шкала не даёт.

3. Запиши считанное число вместе с единицей. Например, если конец дошёл до отметки 47 мм, результат записывают как 47 мм, а не просто 47. Число в этом примере служит образцом записи, а не результатом измерения неизвестного рисунка.

Ответ. Длина равна показанию у второго конца отрезка; результат записывают в миллиметрах. Для конкретного числа необходимо измерить сам отрезок на рисунке.

Задача 2. Выразите 4 м 8 см в сантиметрах. В составной величине есть метры и сантиметры, а требуется оставить только сантиметры. Значит, сначала заменим метры равным количеством сантиметров, а затем учтём оставшиеся сантиметры.

1. Вспомни соотношение 1 м = 100 см. Тогда 4 м = 4 · 100 см = 400 см. При переходе к меньшей единице числовое значение увеличивается.

2. Прибавь 8 см, которые уже указаны в условии: 400 см + 8 см = 408 см. Складывать удобно, потому что обе части теперь выражены в сантиметрах. Проверь, что не потерял сантиметры, стоявшие после метров.

Ответ. 4 м 8 см = 408 см.

Задача 3. Длина прямоугольной клумбы 6 м, а ширина 4 м. Сколько метров ограды потребуется для её обнесения? Ограда должна пройти вдоль всех четырёх сторон, поэтому нужно найти периметр — сумму длин сторон фигуры. Все данные уже заданы в метрах, значит, переводить единицы не требуется.

1. У прямоугольника две стороны длиной 6 м и две стороны длиной 4 м. Запиши сумму длин всех сторон: 6 м + 4 м + 6 м + 4 м. Так мы учитываем полный путь ограды по краю клумбы.

2. Сложи длины: 6 + 4 + 6 + 4 = 20. Можно сгруппировать равные стороны: 2 · (6 + 4) = 20. Единица измерения остаётся метром, потому что складываются метры.

Ответ. Для ограды потребуется 20 м.

Типичные ошибки

Начинают отсчёт не от нулевой отметки, а от края линейки или другой цифры. Это происходит, когда не проверяют, где на самом деле начинается шкала, и принимают край прибора за ноль. Совмести нулевую отметку с началом отрезка; если это невозможно, вычти начальное показание из конечного. Для проверки повтори измерение, не сдвигая линейку.

Записывают измеренное число без единицы длины. Число 12 само по себе не говорит, идёт ли речь о миллиметрах, сантиметрах или метрах. После записи результата проверь, указана ли единица и подходит ли она к шкале прибора. Это помогает не перепутать разные величины с одинаковым числовым значением.

При переводе единиц путают умножение и деление. Часто забывают, что мелких единиц в одной крупной несколько, поэтому число при переходе к ним должно увеличиться. Проверь направление перевода: 1 м — это 100 см, значит, метров будет меньше, чем сантиметров. Если получился обратный порядок чисел, пересчитай действие.

Складывают или сравнивают длины в разных единицах без перевода. Например, числа 2 м и 30 см нельзя просто сложить как 2 + 30: за числами стоят разные меры. Сначала вырази обе длины в метрах или обе в сантиметрах, а затем выполняй действие. В конце убедись, что ответ записан в той единице, которую требует задача.

Связь с другими темами

Для измерения нужны умение распознавать отрезок, сравнивать числа и выполнять действия с натуральными числами и десятичными дробями. Эти знания помогают прочитать шкалу, перевести единицы и записать результат. Если измерение даёт нецелое число единиц, особенно полезно уметь работать с десятичной записью.

Длина используется при вычислении периметров и площадей, а также при решении практических задач о размерах и расстояниях. С ней связана работа с масштабом: расстояние на изображении сопоставляют с расстоянием в действительности. Во всех таких случаях важно внимательно выбирать единицу и согласовывать её с остальными данными.

Навыки измерения нужны при изучении геометрических фигур и координатного луча, где точки и отрезки связывают с числовыми значениями. Они пригодятся и в физике, потому что длина относится к физическим величинам и измеряется приборами. Умение читать шкалу и оценивать точность помогает правильно работать с другими измерениями.

Что запомнить

• Длина характеризует протяжённость отрезка.

• Результат измерения записывают числом и единицей длины.

• Измерить длину — значит узнать, сколько единичных отрезков укладывается в данном отрезке.

• При измерении линейку совмещают с концом отрезка и используют её шкалу.

• 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм.

• 1 км = 1000 м.

• Перед вычислениями все длины нужно выразить в одинаковых единицах.