Называем, записываем, сравниваем

Определения и обозначения

Натуральное число — число, которое используют при счёте предметов. К натуральным относят числа 1, 2, 3 и так далее; в школьной записи их множество обозначают N. Эти числа нужны, чтобы описывать количество предметов и выполнять действия с такими количествами.

Цифра — один из десяти знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифра служит знаком для записи числа, а само число может состоять из одной или нескольких цифр. Например, 7 — и цифра, и запись числа семь, а 27 — число, записанное цифрами 2 и 7.

Разряд числа — позиция цифры в его записи, которая определяет её значение. Разряды считают справа налево: единицы, десятки, сотни, тысячи и далее. Это понятие позволяет понять, какое количество обозначает каждая цифра и как устроено число.

Класс числа — группа из трёх разрядов, если считать справа налево. Различают класс единиц, класс тысяч, класс миллионов и следующие классы. Классы помогают разделить длинную запись на части и легче прочитать многозначное число.

Как это устроено

В десятичной системе используются десять цифр, потому что значение разряда связано с десятью: десять единиц образуют один десяток, десять десятков — одну сотню. Поэтому для записи любого натурального числа достаточно цифр от 0 до 9, а новые разряды показывают, сколько десятков, сотен, тысяч и других групп в нём содержится. Например, число 583 составлено из цифр 5, 8 и 3, но их расположение сообщает о пяти сотнях, восьми десятках и трёх единицах.

Положение цифры определяет её разряд, а значит, и вклад в число. В записи 4 203 цифра 4 стоит в разряде единиц тысяч и обозначает четыре тысячи. В числе 2 043 та же цифра находится в разряде десятков и обозначает сорок. Поэтому одинаковая цифра может обозначать разные количества: при чтении и записи важно учитывать её место, а не только её вид.

Длинное число разбивают на классы по три цифры, начиная справа, потому что так удобно отделять единицы, тысячи, миллионы и более крупные группы. Например, запись 12 345 678 делится на классы так: 12 | 345 | 678. Число читают слева направо: сначала называют группу миллионов, затем тысяч и, наконец, единиц. Название класса единиц обычно не произносят, а пустую группу не называют.

Чтобы записать число по словесному названию, нужно определить, какие цифры стоят в названных разрядах и классах. Если разряд не назван, в его позиции ставят ноль: иначе соседние цифры сдвинутся и число изменит значение. Например, слова «пять тысяч и семь» дают запись 5 007, а не 57. Нули сохраняют места отсутствующих сотен и десятков.

Сравнение начинается с количества цифр: у натурального числа с большим количеством цифр больше разрядов, поэтому оно больше. Если цифр поровну, разряды по очереди сравнивают слева направо, начиная с самого крупного. Пока цифры совпадают, числа имеют одинаковую часть; первое различие сразу определяет результат. Сравнивать последние цифры или выбирать первую цифру без учёта длины записи нельзя.

Разряды и классы натурального числа

Чтобы определить класс цифры, отсчитывай её позицию справа группами по три разряда. Внутри каждой группы разряды идут от единиц к десяткам и сотням. Таблица помогает увидеть, как устроена запись числа и как назвать положение каждой цифры.

Разбор задач

Задача 1. Запишите число, в котором 5 десятков тысяч, 2 сотни, 7 единиц, а остальные разряды отсутствуют. Нужно разместить каждую цифру в соответствующей позиции, не забыв о неназванных разрядах. Сначала определим самый крупный разряд, а затем заполним запись до единиц.

1. Пять десятков тысяч ставим в разряд десятков тысяч: это цифра 5 на пятой позиции справа.
2. В разряде сотен записываем 2, в разряде единиц — 7.
3. В разрядах тысяч, десятков тысяч? Нет: разряд десятков тысяч уже занят цифрой 5; разряды тысяч и десятков отсутствуют, поэтому ставим там нули.

Получаем запись 50 207: цифры 5, 2 и 7 занимают названные разряды, а нули сохраняют пропущенные позиции. Ответ: 50 207.

Задача 2. Прочитайте число 3 040 018 и запишите его словами. Разделим запись справа налево на классы: 3 | 040 | 018. Затем прочитаем группы слева направо и пропустим класс, в котором все цифры равны нулю.

1. Группа 3 относится к классу миллионов, поэтому произносим «три миллиона».
2. Группа 040 относится к классу тысяч и означает сорок тысяч; ноль сотен тысяч отдельно не называют.
3. Группа 018 относится к классу единиц и означает восемнадцать; название класса единиц не добавляем.

Соединяем части: «три миллиона сорок тысяч восемнадцать». Нули в группах помогают правильно прочитать число, хотя сами по себе словами не называются. Ответ: три миллиона сорок тысяч восемнадцать.

Задача 3. Сравните числа 508 071 и 508 107 и объясните выбор знака. В обоих числах по шесть цифр, поэтому сначала проверяем их по разрядам слева направо. Одинаковые цифры не позволяют сделать вывод, пока не найдётся первое различие.

1. Сравниваем сотни тысяч, десятки тысяч и единицы тысяч: в обоих числах это 5, 0 и 8.
2. Следующий разряд — сотни: в первом числе стоит 0, во втором — 1.
3. Так как 0 меньше 1, первое число меньше второго; дальнейшие цифры уже не меняют результат.

Записываем сравнение: 508 071 < 508 107. Ответ: знак «меньше», потому что первое различие обнаружилось в разряде сотен.

Типичные ошибки

Цифру иногда принимают за число, потому что некоторые числа, например 7, записываются одним знаком. Но цифра — знак, а число — то, что этим знаком обозначено; многозначное число состоит из нескольких цифр. Проверяй себя вопросом: речь о символе записи или о количестве?

Разряд могут определять, считая позиции слева, хотя разряды всегда отсчитывают справа, начиная с единиц. Ошибка возникает, когда взгляд цепляется за начало записи, где обычно находятся крупные разряды. Чтобы проверить себя, отметь справа единицы, десятки и сотни, а затем продолжай счёт влево.

При записи числа по названию часто пропускают нули, считая их лишними. Но без нуля цифры сдвигаются в другие разряды, и получается иное число: например, 5 007 нельзя заменить записью 57. После записи сверяй каждую названную часть с её разрядом и проверяй, сохранены ли пустые позиции.

При сравнении можно смотреть только на первую попавшуюся или на последнюю цифру. Это не работает, потому что сначала важна длина записи, а при равной длине решает первое различие слева. Проверь количество цифр, а затем сравнивай разряды по порядку, не перескакивая через них.

Связь с другими темами

Перед изучением темы полезно уметь считать предметы и знать названия чисел и цифр от 0 до 9. Разрядная запись понадобится при сложении, вычитании и округлении натуральных чисел: она помогает правильно выполнять действия с единицами, десятками и сотнями. Сравнение чисел пригодится при работе с координатным лучом и величинами, а также при изучении дробных чисел. Так запись числа становится основой для многих дальнейших тем математики.

Что запомнить

• Натуральные числа записывают с помощью десяти цифр: от 0 до 9.
• Значение цифры зависит от её места в записи числа.
• Разряды объединяются в классы по три, если считать справа налево.
• Нули сохраняют места пропущенных разрядов.
• Из двух натуральных чисел больше то, у которого больше цифр.
• Если цифр поровну, сравнивают числа слева направо до первого различия.