"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Площадь показывает, сколько места занимает плоская фигура. Её измеряют, сравнивая фигуру с квадратом выбранного размера и подсчитывая, сколько таких квадратов в ней помещается. Поэтому результат записывают в квадратных единицах: например, в см² или м². Чтобы уверенно измерять площади, нужно понимать, как связаны квадратные единицы, почему площади частей складываются и как число клеток в прямоугольнике связано с его длиной и шириной.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь фигуры — величина, показывающая, сколько места занимает плоская фигура. Чем больше площадь, тем больше плоская часть пространства, которую занимает фигура. Форма и площадь — не одно и то же: фигуры разной формы могут занимать одинаковое место. Понятие площади помогает сравнивать фигуры по размеру.
Единичный квадрат — квадрат, сторона которого равна выбранной единице длины, например 1 см. Такой квадрат служит меркой для площади: его можно мысленно или на рисунке укладывать внутри фигуры. Если выбрать квадрат со стороной 1 см, мерой станет квадратный сантиметр. Размер выбранного квадрата влияет на численное значение результата.
Измерение площади — сравнение площади фигуры с площадью единичного квадрата и подсчёт числа таких квадратов. Если фигура целиком покрывается 12 квадратами выбранного размера без промежутков и наложений, её площадь равна 12 таким единицам. Так можно измерять площадь, даже если готовой формулы ещё нет. Для неровной границы приходится аккуратно считать части квадратов.
Единица площади — квадратная единица, получаемая возведением единицы длины в квадрат. Например, квадрат со стороной 1 см имеет площадь 1 см², а со стороной 1 м — 1 м². Обозначение см² читают «квадратный сантиметр», а не «сантиметр». Квадрат в обозначении показывает, что измеряется двумерная величина.
Сравнивать площади удобно наложением: если фигуры совпали по размеру и одна полностью закрывает другую, их площади равны. Если одна выступает за границу другой, площади неодинаковы, и вид выступающих частей помогает понять, какая фигура больше. Когда наложить фигуры нельзя, их можно разрезать на части и сравнить части по отдельности. Такой способ работает потому, что разрезание и перемещение частей не меняют площадь.
Единичный квадрат задаёт, в каких единицах будет выражен результат. Маленьких квадратов в одной и той же фигуре поместится больше, чем больших, поэтому численное значение площади изменится при смене мерки. Сама фигура от этого не становится больше или меньше — меняется только способ её измерения. Поэтому вместе с числом всегда указывают единицу, например 15 см².
Если разделить фигуру на части, которые не перекрываются и вместе составляют исходную фигуру, каждая точка её площади попадёт ровно в одну часть. Значит, можно отдельно измерить площади частей и сложить полученные значения. Этот способ особенно полезен для фигур сложной формы, которые трудно измерить целиком. Части должны покрывать всю фигуру: пропущенный участок уменьшит сумму.
При переводе квадратных единиц нужно учитывать обе стороны квадрата. В одном метре 100 сантиметров, поэтому квадрат со стороной 1 м можно разделить на 100 столбцов и 100 рядов квадратов со стороной 1 см. Всего получится 100 × 100 = 10 000 маленьких квадратов, то есть 1 м² = 10 000 см². Умножение на 100 только один раз подходит для длины, но не для площади.
Прямоугольник удобно покрыть одинаковыми единичными квадратами рядами. Если в каждом ряду помещается 8 квадратов, а таких рядов 5, то всего будет 8 × 5 квадратов. Поэтому при длине и ширине, выраженных в единицах стороны квадрата, площадь прямоугольника равна произведению числа квадратов в строке на число строк. Например, при сторонах 8 см и 5 см получаем 40 квадратов по 1 см².
| Единица площади | Обозначение | Соотношение с соседней единицей |
|---|---|---|
| квадратный миллиметр | мм² | 100 мм² = 1 см² |
| квадратный сантиметр | см² | 1 см² = 100 мм²; 100 см² = 1 дм² |
| квадратный дециметр | дм² | 1 дм² = 100 см²; 100 дм² = 1 м² |
| квадратный метр | м² | 1 м² = 100 дм²; 1 ар = 100 м² |
| ар | а | 1 а = 100 м² |
Чтобы перейти к меньшей квадратной единице, умножай на квадрат коэффициента перехода для длины; к большей — дели на него. Например, между соседними мм², см², дм² и м² коэффициент равен 100. Ар равен площади квадрата со стороной 10 м, то есть 100 м².
Примем площадь одной клетки за единицу площади. Поскольку все клетки одинаковы, остаётся посчитать, сколько их покрывают квадрат. В условии указано, что таких клеток 16.
Ответ: 16 единичных квадратов.
Представим, что прямоугольник покрыт квадратами со стороной 1 см. В одном ряду вдоль длины помещается 8 таких квадратов, а ширина задаёт 5 рядов. Чтобы найти общее число квадратов, умножим количество клеток в ряду на число рядов.
Ответ: 40 см².
Так как прямоугольники не перекрываются, общую площадь можно найти сложением их площадей. Сначала вычислим площади в квадратных сантиметрах, чтобы измерения обеих сторон были в одинаковых единицах. Затем переведём результат в квадратные миллиметры, учитывая, что квадратный сантиметр содержит 100 квадратных миллиметров.
Ответ: 3000 мм².
Запись площади в сантиметрах вместо квадратных сантиметров смешивает длину и площадь. Такую ошибку допускают, когда забывают, что измеряется плоская фигура, а не её сторона. Проверь себя: если найдена площадь квадрата со стороной 1 см, единицей должна быть 1 см². В ответе с площадью всегда указывай квадратную единицу.
Равенство 1 м² = 100 см² получается, если перевести в сантиметры только одну сторону квадрата. Но квадрат со стороной 1 м имеет 100 см по длине и 100 см по ширине, поэтому содержит 100 × 100 = 10 000 квадратов по 1 см². Проверяй перевод, представляя квадратную сетку или возводя коэффициент перевода длины в квадрат. Тогда станет видно, почему множитель равен 10 000.
При подсчёте клеток можно пропустить неполные клетки или начать считать линии сетки вместо квадратов. Обычно так происходит, если считать быстро или не договориться, что считать одной клеткой. Пересчитай клетки по строкам и столбцам, а неполные части оцени отдельно или объедини в целые квадраты. Границы лишь разделяют клетки и сами дополнительной площади не дают.
Если части фигуры перекрываются, простое сложение их площадей учитывает общую область дважды. Ошибку легко допустить, принимая все части за отдельные непересекающиеся куски. Проверь, не лежит ли один фрагмент поверх другого; при перекрытии общую площадь нужно вычесть один раз. Сложение без поправки подходит только тогда, когда части не перекрываются.
Для работы с площадью нужно знать единицы длины и уметь переводить их друг в друга: стороны фигуры могут быть заданы в разных единицах. Также пригодятся умножение и деление натуральных чисел, поскольку подсчёт клеток в строках и рядах сводится к этим действиям. Измерение отрезков и вычисление периметра помогают различать длину границы фигуры и площадь её внутренней части. Позже эти знания позволят применять формулы площади прямоугольника и других фигур в практических задачах.
Почему площадь измеряют квадратными единицами?
Площадь показывает размер плоской фигуры, то есть охватывает два направления: длину и ширину. Единичный квадрат имеет сторону, измеряемую единицей длины, поэтому его площадь выражается квадратной единицей, например см².
Могут ли две разные по форме фигуры иметь одинаковую площадь?
Да. Фигуры могут отличаться очертаниями, но занимать одинаковое количество места. Например, прямоугольники 2 см × 6 см и 3 см × 4 см имеют площадь 12 см² каждый.
Почему при переводе м² в см² нужно умножать на 10 000?
В одном метре 100 сантиметров, значит, сторона квадрата площадью 1 м² равна 100 см. Такой квадрат состоит из 100 рядов по 100 клеток площадью 1 см²: 100 × 100 = 10 000 см².
Как найти площадь фигуры, если она составлена из нескольких частей?
Раздели фигуру на простые части, площади которых можно найти или посчитать. Если части не перекрываются, сложи их площади; если есть перекрытие, общую часть нельзя учитывать дважды.
Что делать, если на рисунке есть неполные клетки?
Сначала проверь, можно ли объединить неполные клетки в целые единичные квадраты. Если это невозможно, оцени их суммарную площадь отдельно; границы клеток не считай за сами клетки.
Площадь и её измерение
