"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Сложение и вычитание тысяч и миллионов выполняют по тем же правилам, что и действия с единицами, десятками и сотнями. Главное — правильно разделить число на классы, записать одинаковые разряды один под другим и начать вычисления справа, с единиц. При необходимости выполняют перенос при сложении или заимствование при вычитании. Эти умения нужны для работы с большими величинами, текстовыми задачами и именованными числами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Класс тысяч — группа из трёх разрядов: единиц тысяч, десятков тысяч и сотен тысяч. Например, в числе 438 000 цифры 4, 3 и 8 относятся к этому классу. Такое объединение помогает читать и записывать большие числа.
Класс миллионов — группа из трёх разрядов: единиц миллионов, десятков миллионов и сотен миллионов. В числе 27 305 000 цифра 7 обозначает десятки миллионов, а цифра 2 — единицы миллионов. Знание названий разрядов помогает правильно выполнять действия с большими числами.
Разрядная единица — единица счёта определённого разряда: 1, 10, 100, 1000 и далее. Десять единиц одного разряда образуют одну единицу следующего, например 10 тысяч равны 1 десятку тысяч. Это правило объясняет перенос при сложении и размен при вычитании.
Переход через разряд — перенос одной единицы в следующий разряд при сложении или заимствование единицы из следующего разряда при вычитании. Например, 8 единиц при сложении с 5 дают 13: 3 остаются в разряде единиц, а 1 переходит в десятки. При вычитании одну десятку можно разменять на 10 единиц.
Многозначное число разделяют справа налево на группы по три цифры. Первая группа — класс единиц, следующая — класс тысяч, затем идёт класс миллионов. Например, число 6 204 018 читают как 6 миллионов 204 тысячи 18 единиц, а пробелы помогают не перепутать классы.
Действия выполняют поразрядно, начиная с единиц, потому что результат в младшем разряде может повлиять на соседний старший. При сложении перенос движется слева направо от младших разрядов к старшим. При вычитании заимствование также нужно выполнять справа, чтобы сначала получить нужное количество единиц текущего разряда.
Если сумма цифр в разряде достигает десяти или больше, десять единиц заменяют одной единицей следующего разряда. Например, при сложении 7 и 8 получают 15: цифру 5 записывают в разряде единиц, а 1 прибавляют к десяткам. Если перенос не учесть, все последующие разряды будут вычислены неверно.
При вычитании, когда цифра уменьшаемого меньше соответствующей цифры вычитаемого, единицу берут из соседнего старшего разряда. Полученную единицу меняют на десять единиц текущего разряда, а старший разряд уменьшают на 1. Так сохраняется прежнее значение числа: одна десятка действительно равна десяти единицам.
В записи столбиком разряды и классы располагают строго один под другим. Единицы должны находиться под единицами, тысячи — под тысячами, миллионы — под миллионами. При выравнивании по левому краю цифры попадают в чужие разряды, и даже аккуратно выполненные вычисления дадут неправильный результат.
В таблице показано, что меняется в каждом случае и чем можно проверить вычисление. Сначала определите разряды, затем выполняйте действие справа налево, учитывая переносы или заимствования. Проверка обратным действием помогает обнаружить ошибку.
| Ситуация | Действия по разрядам | Что происходит при переходе через разряд | Способ проверки |
|---|---|---|---|
| Сложение без перехода через разряд | Складывают цифры каждого разряда справа налево. | Переноса нет, если каждая сумма меньше 10. | Вычесть одно слагаемое из суммы. |
| Сложение с переносом в следующий разряд | Складывают цифры и учитывают перенос из предыдущего разряда. | Десять единиц заменяют одной единицей старшего разряда. | Вычесть любое слагаемое из суммы. |
| Вычитание без заимствования | Из цифры уменьшаемого вычитают цифру вычитаемого в каждом разряде. | Заимствование не требуется, если цифра сверху не меньше цифры снизу. | Прибавить разность к вычитаемому. |
| Вычитание с заимствованием из соседнего разряда | Занимают единицу слева и вычитают по разрядам. | Одна единица старшего разряда превращается в 10 единиц текущего. | Прибавить вычитаемое к разности. |
| Сложение и вычитание чисел, содержащих нули в отдельных разрядах | Нули сохраняют свои места, а при необходимости выполняют перенос или заимствование. | При заимствовании через нули единица проходит последовательно через старшие разряды. | Проверить обратным действием и разрядный состав. |
Слагаемые имеют одинаковый разрядный состав: в каждом есть тысячи, сотни тысяч и нули в классе единиц. Поэтому удобно сложить отдельно количество тысяч, не выполняя перехода через разряд. После вычисления нужно записать результат с правильным количеством нулей.
Ответ: 359 000.
Здесь при сложении несколько раз возникают суммы не меньше десяти. Начинаем с единиц и каждый перенос сразу добавляем в следующий разряд, чтобы не потерять его. Запишем числа столбиком и обработаем разряды справа налево.
Ответ: 925 730.
В уменьшаемом после единицы стоят нули, поэтому сразу занять из соседнего разряда нельзя. Нужно дойти до единственного ненулевого старшего разряда и последовательно превратить его единицу в десятки, сотни и более младшие единицы. После этого вычитаем цифры справа налево.
Ответ: 643 216.
Цифры иногда выравнивают по левому краю, потому что смотрят на начало записи, а не на разряды справа. Тогда единицы одного числа оказываются под десятками или сотнями другого. Проверьте себя: правые цифры обоих чисел должны стоять в одном вертикальном столбце.
При сложении можно забыть перенести единицу, если в разряде получилась сумма 10 или больше. Такая ошибка возникает, когда ученик записывает только последнюю цифру суммы. После каждого разряда спрашивайте себя, была ли сумма двузначной и нужно ли добавить 1 слева.
При вычитании занимают единицу, но не уменьшают на единицу разряд, из которого её взяли. Из-за этого число сверху фактически увеличивается. Проверьте запись: старший разряд после заимствования должен стать на единицу меньше.
При наличии нулей иногда занимают единицу не из ближайшего доступного старшего разряда, а пропускают часть последовательности. Тогда нарушается разрядный состав числа. Двигайтесь слева направо от найденной ненулевой цифры и отмечайте каждый разряд, через который проходит заимствование.
До этой темы нужно знать разрядный состав многозначных чисел и названия классов единиц, тысяч и миллионов. Без этого трудно понять, какую цифру считать единицами, тысячами или миллионами.
Также требуется уметь складывать и вычитать двузначные и трёхзначные числа столбиком с переходом через разряд. Правила для больших чисел те же, только добавляются новые классы.
Навык пригодится при решении текстовых задач, работе с большими величинами и вычислениях с именованными числами. Он помогает складывать расстояния, массы, цены и другие данные, записанные крупными числами.
Почему числа при сложении и вычитании нужно выравнивать по правому краю?
Справа находятся единицы, затем десятки, сотни и более старшие разряды. При выравнивании по правому краю одинаковые разряды оказываются один под другим, поэтому действие выполняется правильно.
Что делать, если при сложении в разряде получается больше девяти?
В этом разряде записывают последнюю цифру суммы, а одну единицу переносят в следующий разряд. Например, при сумме 14 записывают 4, а 1 добавляют к цифрам следующего разряда.
Как выполнить вычитание, если в уменьшаемом стоит ноль?
Нужно найти ближайший старший разряд, где есть ненулевая цифра, и занять из него единицу. Затем эта единица последовательно превращается в десять единиц соседнего разряда, пока не дойдёт до нужного места.
Почему миллион записывается семью цифрами, а тысяча — четырьмя?
Тысяча равна 1 000, поэтому в её записи четыре цифры. Миллион равен 1 000 000, поэтому для его записи нужны семь цифр.
Как проверить результат сложения или вычитания?
Сложение проверяют вычитанием: из суммы вычитают одно слагаемое и получают другое. Вычитание проверяют сложением: к разности прибавляют вычитаемое и получают уменьшаемое.
Складываем и вычитаем тысячи и миллионы
