"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Умножение заменяет сложение одинаковых слагаемых и помогает быстро находить количество предметов в равных группах. Деление связано с умножением как обратное действие: по произведению можно найти неизвестный множитель, а по делимому и делителю — частное. Нужно различать компоненты действий, соблюдать порядок вычислений, помнить, что на ноль делить нельзя, и проверять деление умножением.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение — действие, которое заменяет сложение одинаковых слагаемых: 6 + 6 + 6 + 6 = 4 · 6. Числа, которые перемножают, называют множителями, а результат называют произведением. Такое обозначение удобно, когда одна и та же величина повторяется несколько раз.
Множители — это числа, участвующие в умножении, например 4 и 6 в записи 4 · 6. Произведение — число, полученное после умножения, например 24 в равенстве 4 · 6 = 24. Различать эти названия нужно, чтобы правильно находить неизвестное число.
Деление — действие, обратное умножению. В записи c : a = b число c называют делимым, число a — делителем, а результат b — частным. Такое действие позволяет распределять количество поровну или узнавать, сколько групп заданного размера получится.
Частное показывает, сколько раз делитель содержится в делимом: в равенстве 20 : 5 = 4 число 5 содержится в 20 четыре раза. Делить на ноль нельзя, потому что не существует числа, которое при умножении на 0 даст ненулевое делимое. Это ограничение нужно учитывать в каждом вычислении.
Представим 4 равные группы по 6 карандашей. Общее количество можно найти сложением 6 + 6 + 6 + 6, но быстрее записать 4 · 6 = 24. Умножение показывает число равных групп и количество предметов в каждой группе, поэтому оно сокращает повторяющиеся действия.
Умножение и деление связаны одной ситуацией. Если a · b = c, то c : a = b и c : b = a, когда деление определено: из 4 · 6 = 24 следуют 24 : 4 = 6 и 24 : 6 = 4. Поэтому результат умножения можно использовать для двух обратных делений.
Чтобы найти неизвестный множитель, произведение делят на известный множитель: если x · 7 = 35, то x = 35 : 7. Неизвестное делимое находят умножением частного на делитель: если x : 8 = 9, то x = 9 · 8. Неизвестный делитель находят делением делимого на частное: если 72 : x = 9, то x = 72 : 9.
В выражении без скобок умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания. Если встречаются только умножение и деление, действия имеют одинаковую ступень, поэтому их выполняют слева направо: 48 : 6 · 2 = 8 · 2 = 16. Такой порядок сохраняет смысл исходной записи и не позволяет произвольно менять группировку действий.
Деление проверяют умножением: частное умножают на делитель и сравнивают результат с делимым. Для равенства 72 : 8 = 9 проверка выглядит так: 9 · 8 = 72. Если результат не совпал с делимым, значит, в делении или вычислениях допущена ошибка.
| Действие | Запись | Компоненты | Результат | Связь с обратным действием |
|---|---|---|---|---|
| Умножение | a · b = c | множители a и b | произведение c | c : a = b; c : b = a |
| Деление | c : a = b | делимое c, делитель a | частное b | b · a = c |
Сначала определите действие и найдите его компоненты в записи. Затем используйте последнюю колонку, чтобы перейти к обратному действию и проверить вычисление. Помните, что формулы с делением применимы только тогда, когда делитель не равен нулю.
В 4 коробках по 6 карандашей. Нужно найти общее количество, поэтому складывать 6 четыре раза необязательно: одинаковые группы удобно заменить умножением.
Ответ: всего 24 карандаша.
Вычислим 72 : 8 и проверим результат. Ищем такое число, которое при умножении на 8 даст 72.
Ответ: 72 : 8 = 9; проверка подтверждает результат.
Найдём x в равенстве 6 · x = 84, а затем вычислим 84 : x. Сначала определяем неизвестный множитель через обратное действие, после этого подставляем найденное значение.
Ответ: x = 14; 84 : x = 6. Проверка первого шага: 6 · 14 = 84.
Множители путают с произведением, называя результат одним из чисел в записи. Ошибка возникает, если не различать числа, которые перемножают, и итог действия. Проверьте себя вопросом: «Что умножаем?» — это множители, «Что получили?» — произведение.
Делимое и делитель иногда меняют местами, забывая, что порядок чисел влияет на частное. Например, 20 : 5 и 5 : 20 — разные действия. Чтобы не ошибиться, сначала ищите число, которое делят, затем число, на которое делят.
Некоторые считают, что на ноль делить можно, потому что любое число при умножении на ноль даёт ноль. Но для деления 5 : 0 потребовалось бы число, дающее при умножении на 0 результат 5, а такого числа нет. Перед вычислением проверьте делитель.
В выражении с умножением и делением иногда сначала выполняют умножение. Это неверно, если умножение стоит правее деления: действия одной ступени идут слева направо. Расставляйте промежуточные шаги, например 48 : 6 · 2 = 8 · 2.
Для изучения умножения и деления нужны навык сложения одинаковых слагаемых, таблица умножения и понимание натуральных чисел. Эти действия станут основой работы с дробями, пропорциями и уравнениями. Они также нужны при вычислениях с величинами, например с длиной, массой и стоимостью.
Чем множитель отличается от произведения?
Множители — числа, которые перемножают. Произведение — результат умножения, например в записи 4 · 6 = 24 числа 4 и 6 являются множителями, а 24 — произведением.
Как проверить, правильно ли выполнено деление?
Нужно умножить частное на делитель. Если получилось делимое, деление выполнено правильно: например, 72 : 8 = 9, потому что 9 · 8 = 72.
Почему нельзя делить на ноль?
Деление c : 0 означало бы поиск числа, которое при умножении на ноль даст c. Но любое число, умноженное на ноль, даёт ноль, поэтому при ненулевом c такого числа нет.
Как найти неизвестный множитель?
Произведение нужно разделить на известный множитель. Например, если 6 · x = 84, то x = 84 : 6 = 14.
В каком порядке выполнять умножение и деление в выражении?
Умножение и деление имеют одинаковый приоритет, поэтому без скобок их выполняют слева направо. Например, в выражении 48 : 6 · 2 сначала находят 48 : 6, затем умножают результат на 2.
Умножение и деление
