"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Письменные умножение и деление помогают выполнять вычисления с многозначными числами по разрядам и не терять цифры при длинной записи. При умножении находят неполные произведения и складывают их с учётом места цифр множителя. При делении последовательно определяют цифры частного, каждый раз проверяя остаток. Главное — внимательно следить за разрядами, не пропускать нули в частном и проверять ответ обратным действием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Письменное умножение многозначных чисел — алгоритм поразрядного умножения с записью и сложением неполных произведений. Число раскладывают на единицы, десятки, сотни и другие разрядные слагаемые, чтобы умножать по частям. Такой способ помогает не смешивать значения цифр и упорядочивает длинные вычисления. В конце частичные результаты складывают.
Неполное произведение — результат умножения первого множителя на одну цифру второго множителя с учётом её разряда. Например, цифра 2 в числе 24 означает два десятка, поэтому при умножении на неё получают вклад десятков. Неполные произведения нужны, чтобы представить умножение на многозначное число как несколько простых умножений. Их разрядное положение обязательно учитывают при записи.
Письменное деление многозначных чисел — алгоритм последовательного нахождения цифр частного по разрядам делимого. Деление начинают с левой части числа, достаточной для первого шага, а затем переходят к следующим цифрам. Такой порядок позволяет находить частное постепенно, не пытаясь сразу угадать его целиком. После каждого шага проверяют остаток.
Неполное частное — часть делимого, которую на очередном шаге делят на делитель для определения очередной цифры частного. Сначала это одна или несколько первых цифр делимого, затем к остатку приписывают следующую цифру. Неполное частное помогает выполнять деление по разрядам. По нему выбирают цифру частного, соответствующую текущему разряду.
При умножении многозначное число раскладывают на разрядные слагаемые, потому что каждая его цифра имеет своё значение. Например, 24 — это 20 + 4, поэтому 326 · 24 можно представить как 326 · 20 + 326 · 4. Так сложное вычисление заменяется двумя умножениями на однозначные числа и сложением. Полученные части называют неполными произведениями, поскольку каждая учитывает только один разряд множителя.
Следующее неполное произведение записывают со сдвигом на один разряд влево, когда переходят от единиц к десяткам, затем к сотням. Причина в том, что умножают не просто на цифру, а на число, которое она обозначает в своём разряде: например, 2 десятка — это 20. Сдвиг в записи показывает это увеличение в десять раз. Если в разряде множителя стоит ноль, соответствующее произведение равно нулю и отдельного слагаемого не добавляет.
При делении сначала берут слева столько цифр делимого, чтобы получившееся число было не меньше делителя. Так находят первый неполный делитель и определяют первую цифру частного. После умножения выбранной цифры на делитель произведение вычитают; остаток обязан быть меньше делителя, иначе в частном можно было бы выделить ещё одну группу. Это условие помогает понять, правильно ли выбрана цифра.
Затем к остатку приписывают следующую цифру делимого, потому что деление продолжается в следующем разряде. Полученное число становится новым неполным делимым, по которому находят очередную цифру частного. Если оно меньше делителя, в соответствующем разряде частного ставят ноль, а затем сносят следующую цифру. Ноль нельзя пропускать: без него изменится разрядное значение всех последующих цифр.
Проверка обратным действием позволяет обнаружить ошибку, не повторяя всё вычисление тем же способом. Произведение делят на один из множителей: если ответ совпал со вторым множителем, вычисление подтверждено. При делении частное умножают на делитель и прибавляют остаток; результат должен равняться делимому. Одновременно проверяют, что остаток не достиг делителя.
Таблица показывает, что общего и различного есть в двух алгоритмах. Используй её как памятку: перед вычислением проверь запись, во время работы следи за разрядами, а в конце выполни проверку. В строке об остатке для умножения указано, что это условие к нему не применяется.
| Этап | Умножение на многозначное число | Деление на многозначное число |
|---|---|---|
| Подготовка записи | Записать множители столбиком, разряды расположить один под другим. | Записать делимое и делитель, выделить первую часть делимого для деления. |
| Определение неполных произведений или неполных частных | Умножить первый множитель на каждую цифру второго. | Подбирать очередную цифру частного по неполному делимому. |
| Работа с разрядами | Учитывать разряд каждой цифры второго множителя. | Находить цифры частного слева направо. |
| Запись нулей и сдвигов | Сдвигать каждое следующее неполное произведение на разряд влево; нулевое слагаемое не записывать. | Записывать ноль в частном, если текущая часть меньше делителя. |
| Проверка результата | Разделить произведение на один из множителей. | Умножить частное на делитель и прибавить остаток. |
| Допустимое условие для остатка | Остаток при умножении не возникает. | Остаток должен быть меньше делителя. |
Задача 1. Вычислить 326 · 24 письменным способом.
Задача 2. Вычислить 7056 : 24 письменным способом.
Задача 3. Вычислить 48 372 : 306 и выполнить проверку результата.
Неполные произведения иногда складывают без разрядного сдвига, потому что смотрят на цифру множителя, но забывают, что она обозначает десятки или сотни. Тогда части вычисления оказываются не в тех разрядах и сумма неверна. Проверяй, на какое разрядное слагаемое раскладывается второй множитель. Например, умножение на цифру десятков должно давать вклад десятков.
При делении можно выбрать слишком большую цифру частного: обычно так происходит, когда её подбирают на глаз и не проверяют умножением. Тогда произведение цифры на делитель превышает неполное делимое, и вычитание выполнить нельзя. Перед записью цифры умножь её на делитель и сравни результат с неполным делимым. Если произведение больше, возьми цифру меньше.
Ноль в частном пропускают, если очередное неполное делимое меньше делителя. Ошибка возникает из-за того, что кажется, будто раз деление не выполняется, этот шаг можно не записывать. Но ноль сохраняет место разряда, поэтому пропуск меняет значение частного. После каждого снесения цифры проверяй, должна ли в текущем разряде появиться цифра, и записывай ноль, если групп делителя нет.
Вычисление иногда считают правильным, не выполняя проверку, или забывают ограничение на остаток. Это не позволяет заметить неверное вычитание или неправильно выбранную цифру частного. При делении проверь равенство: делитель · частное + остаток = делимое. Убедись, что остаток меньше делителя; при умножении используй обратное деление.
Для письменных вычислений нужны разрядный состав многозначных чисел, таблица умножения, свойства умножения и связь умножения с делением. Умножение опирается на письменное сложение: неполные произведения складывают по разрядам. Деление связано с вычитанием, поскольку на каждом шаге из неполного делимого вычитают произведение делителя на цифру частного. Эти приёмы пригодятся при вычислении выражений, решении текстовых задач и работе с величинами, а позднее — при изучении дробей.
Почему неполные произведения записывают со сдвигом?
Цифра второго множителя обозначает не только число, но и разряд: например, 2 в числе 24 — это 2 десятка. Поэтому произведение на неё записывают со сдвигом на один разряд влево. Так запись показывает истинное значение неполного произведения.
Когда в частном нужно записывать ноль?
Ноль записывают, если очередное неполное делимое меньше делителя и в соответствующем разряде частного не получается ни одной группы делителя. Затем к остатку сносят следующую цифру делимого. Ноль сохраняет правильное место остальных цифр частного.
Как понять, какую цифру частного выбрать?
Нужно выбрать наибольшую цифру, произведение которой на делитель не превышает текущее неполное делимое. Если произведение больше, цифру уменьшают. После вычитания остаток должен быть меньше делителя.
Может ли остаток быть равен делителю?
Нет, остаток всегда меньше делителя. Если он равен делителю или больше него, значит, можно выделить ещё одну группу делителя и увеличить цифру частного.
Как проверить письменное умножение и деление?
Умножение проверяют делением произведения на один из множителей. Деление проверяют равенством: делитель · частное + остаток = делимое. При делении без остатка остаток равен нулю.
Умножение и деление многозначных чисел (продолжение)
