"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Считать можно не только по порядку записи: иногда выгоднее переставить числа, объединить их в пары или представить одно из них как сумму либо произведение. Для этого используют свойства сложения и умножения, а при округлении обязательно учитывают поправку. Удобный способ помогает быстрее выполнить вычисления в уме, упростить выражение и проверить результат другим способом. Главное — преобразовывать выражение так, чтобы его значение не менялось.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Переместительное свойство сложения и умножения означает, что от перестановки слагаемых или множителей значение не меняется: a + b = b + a, a · b = b · a. Например, 8 + 3 можно записать как 3 + 8. Это свойство помогает поставить числа в таком порядке, чтобы считать было проще.
Сочетательное свойство сложения и умножения позволяет по-разному объединять слагаемые или множители в группы, не меняя результата: (a + b) + c = a + (b + c). Так, в сумме 17 + 23 + 40 сначала удобно сложить 17 и 23. Группировка нужна, чтобы выделять простые суммы и произведения.
Распределительное свойство умножения говорит, что умножение суммы или разности на число можно заменить суммой или разностью произведений: a · (b + c) = a · b + a · c. Например, 6 · 12 можно вычислить как 6 · (10 + 2). Так сложное действие превращается в несколько более простых.
Округление и компенсация — это замена числа близким удобным числом с последующим учётом изменения. Например, вместо 39 можно взять 40, но затем вычесть лишнюю единицу. Такой приём ускоряет вычисление, если поправку легко посчитать и не забыть.
Перестановка и группировка помогают потому, что сложение и умножение дают одинаковый результат при любом порядке слагаемых или множителей. Значит, можно сначала выполнить те действия, которые проще всего посчитать. Например, в сумме 26 + 48 + 74 удобно сначала сложить 26 и 74, а не идти слева направо. При умножении так же можно выбрать пару множителей, произведение которой известно или содержит круглое число.
Удобные пары ищут по тому, какой результат хочется получить: круглые десятки или сотни, а при умножении — произведения вроде 10, 100 или числа с нулями. Например, 38 и 62 дают 100, а 25 и 4 дают 100. После перестановки и группировки остаётся выполнить простое действие. Такой выбор экономит время и снижает вероятность ошибки в длинных вычислениях.
Распределительное свойство удобно, когда один из множителей или один из членов выражения можно разложить на части. В записи 7 · 13 число 13 можно представить как 10 + 3, поэтому получается 7 · 10 + 7 · 3. Умножение на 10 и на 3 проще выполнить, а затем результаты складывают. Разложение работает и для разности: например, из произведения с круглым числом можно вычесть лишнюю часть.
Число можно представить не только как сумму удобных частей, но и как произведение или частное. Например, 39 = 40 − 1, поэтому при умножении удобно сначала взять 40, а затем вычесть один такой множитель. А 25 можно представить как 100 : 4: это полезно, если рядом есть число, которое легко умножить на 100. Представление выбирают по выражению целиком, а не только по одному числу.
Разные способы вычисления дают один результат, если каждое преобразование основано на свойстве, сохраняющем значение выражения. Можно сначала сгруппировать слагаемые, а можно раскрыть умножение на сумму — итог при правильных действиях не изменится. Второй способ полезен для проверки: посчитай независимо и сравни ответы. Если они расходятся, проверь преобразования и вычисления по шагам.
| Приём | На каком свойстве основан | Как преобразовать выражение | Когда применять |
|---|---|---|---|
| Перестановка слагаемых или множителей | Переместительное свойство | Изменить порядок чисел, сохранив действие | Когда после перестановки видна удобная пара |
| Группировка слагаемых или множителей | Сочетательное свойство | Объединить числа в скобки в удобном порядке | Когда одна из групп легко считается |
| Дополнение до круглого числа | Переместительное и сочетательное свойства | Сгруппировать числа, сумма которых равна десятку или сотне | При сложении нескольких слагаемых |
| Разложение числа на удобные слагаемые или множители | Представление числа в удобном виде | Например, заменить 39 на 40 − 1 или 36 на 4 · 9 | Когда части проще вычислить |
| Распределение умножения относительно сложения или вычитания | Распределительное свойство | Умножить число на каждый член суммы или разности | Когда выражение можно разложить на простые произведения |
| Проверка результата другим способом | Свойства арифметических действий | Вычислить исходное выражение иначе и сравнить ответы | Чтобы проверить преобразования и вычисления |
Сначала посмотри на числа и реши, какой результат или действие можно сделать проще. Затем выбери подходящий приём и запиши преобразование так, чтобы было видно, почему значение не меняется. Если ответ вызывает сомнение, выполни проверку другим способом.
Задача. Вычислите удобным способом: 37 + 48 + 63 + 52. Здесь четыре слагаемых, поэтому вычислять их подряд не обязательно. Ищем пары, которые дают круглое число: 37 и 63 дают 100, а 48 и 52 тоже дают 100. Для этого переставляем и группируем слагаемые.
Ответ: 200. Мы не меняли значение суммы, а только порядок и группировку слагаемых. Такой выбор удобен, потому что обе пары сразу дают круглые сотни.
Задача. Вычислите удобным способом: 25 · 36. Число 25 удобно умножать на 4, потому что получается 100, а 36 можно представить как 4 · 9. Значит, множители стоит сгруппировать так, чтобы сначала перемножить 25 и 4. Так мы используем сочетательное свойство умножения.
Ответ: 900. Если считать 25 · 36 напрямую, удобная сотня не появляется так быстро. Группировка позволяет заменить исходное вычисление умножением круглого числа на 9.
Задача. Вычислите удобным способом: 398 · 27. Число 398 близко к 400, а умножать на 400 легче. Но 400 на 2 больше исходного числа, поэтому после умножения нужно вычесть произведение 2 · 27. Так округление не изменит значение выражения.
Ответ: 10 746. Поправка вычитается, потому что при замене 398 на 400 множитель увеличили на 2. Проверка здравого смысла: результат должен быть немного меньше, чем 400 · 27 = 10 800, и 10 746 этому условию соответствует.
Ошибка: переставлять местами уменьшаемое и вычитаемое или делимое и делитель. Так делают, потому что помнят переместительное свойство, но забывают, что оно относится к сложению и умножению. Например, 9 − 4 не равно 4 − 9, а 12 : 3 не равно 3 : 12. Проверяй, какое действие записано: вычитание и деление требуют сохранять порядок чисел.
Ошибка: при раскрытии скобок умножить число только на первый член суммы или разности. Это происходит, когда скобки воспринимают как часть записи, а не как целое выражение. В записи 5 · (10 + 2) нужно получить 5 · 10 + 5 · 2. Для проверки раскрой скобки заново и убедись, что множитель стоит у каждого члена.
Ошибка: округлить число, но не учесть, насколько оно изменилось. Например, замена 398 на 400 без вычитания лишних 2 завышает результат при умножении на положительное число. Перед вычислением запиши равенство 398 = 400 − 2 и сохрани поправку в выражении. Затем проверь, в какую сторону должен измениться ответ: при увеличении множителя результат тоже увеличивается.
Ошибка: менять порядок действий без обоснования. Например, нельзя просто переставить части выражения со сложением, вычитанием, умножением и делением, потому что для них действуют разные правила и есть порядок выполнения действий. Такие преобразования допускаются, только если их объясняет свойство или правило. Проверь каждую новую запись: опирается ли она на переместительное, сочетательное или распределительное свойство.
Для удобных вычислений нужны знание таблицы сложения и умножения, порядок действий и свойства арифметических операций. Эти приёмы помогают считать устно, преобразовывать выражения и решать текстовые задачи, где вычисления можно упростить до подстановки чисел. Прикидка и проверка другим способом помогают оценить, правдоподобен ли ответ. Дальше те же свойства применяются в буквенных выражениях: распределительное свойство используют при раскрытии скобок.
Можно ли переставлять местами числа при вычитании и делении?
Нет, переместительное свойство действует для сложения и умножения, но не для вычитания и деления. Например, 9 − 4 = 5, а 4 − 9 = −5; 12 : 3 = 4, а 3 : 12 = ¼. Поэтому при перестановке чисел в таких действиях результат может измениться.
Как понять, какие числа лучше объединить в пару или группу?
Ищи числа, которые в сумме дают круглое число, например 100, или множители, произведение которых легко посчитать. Переставлять и группировать слагаемые или множители можно, потому что для сложения и умножения действуют соответствующие свойства. После преобразования проверь, что ни одно число не потерялось.
Почему при раскрытии скобок нужно умножать на каждый член суммы?
Множитель перед скобками относится ко всей сумме или разности, а не только к первому числу. Поэтому по распределительному свойству a · (b + c) = a · b + a · c. Если умножить только на один член, часть исходного выражения исчезнет и значение изменится.
Как не ошибиться при замене числа близким круглым числом?
Сначала запиши замену точно: например, 398 = 400 − 2. Затем учти поправку в вычислении: при умножении 398 на 27 нужно из 400 · 27 вычесть 2 · 27. Полезно прикинуть результат: он должен быть немного меньше, чем 400 · 27.
Зачем вычислять один пример двумя разными способами?
Второй способ помогает заметить ошибку в вычислениях или преобразовании. Если способы независимы и дают одинаковый ответ, результат выглядит более надёжным. Кроме того, сравнение способов помогает находить самый короткий и удобный путь.
Вычисляем разными способами
