А что же дальше?

Определения и обозначения

Иррациональное число — число, которое нельзя представить в виде дроби двух целых чисел со знаменателем, отличным от нуля. Рациональное число, напротив, такую дробную запись имеет, например ¾ или −2 = −2/1. Это различие помогает понять, почему не каждую величину можно точно записать обычной дробью.

Бесконечная непериодическая десятичная дробь — запись, в которой цифры после запятой не заканчиваются и не повторяются бесконечно одним и тем же блоком. У рационального числа десятичная запись конечна или периодична, а иррациональное число записывается бесконечной непериодической дробью. По этому признаку можно различать два вида чисел, если известна их точная десятичная запись.

Действительное число — любое рациональное или иррациональное число. Эти два вида объединяются в одну числовую систему: в ней есть и дроби, и числа вроде √2, которые дробью целых чисел не выражаются. Понятие действительного числа позволяет описывать все точки числовой прямой.

Числовая прямая — прямая, на которой каждому действительному числу соответствует точка, а каждой точке — число. Ноль задаёт начало отсчёта, а положительное направление выбирают на прямой заранее. Это представление помогает сравнивать числа и видеть, где расположены их приближения.

Как это устроено

Рациональных чисел не хватает, когда нужно точно описать некоторые длины. Например, по теореме Пифагора диагональ квадрата со стороной 1 имеет длину √(1² + 1²) = √2. Если бы эта длина равнялась дроби, то диагональ можно было бы точно задать отношением целых чисел, но для √2 это невозможно. Поэтому для записи таких значений вводят иррациональные числа.

Иррациональность √2 можно доказать от противного: предположим, что √2 = a/b, где a и b — целые числа, а дробь несократима. Возведём равенство в квадрат: a² = 2b², значит, a² чётно и само a чётно; положим a = 2k. После подстановки получаем b² = 2k², поэтому b тоже чётно. Числитель и знаменатель оказались делящимися на 2, хотя дробь объявили несократимой, — это противоречие.

Связь с десятичной записью следует из деления числителя на знаменатель. При делении целых чисел остатки могут закончиться — тогда десятичная запись конечна; если остатки повторяются, повторятся и цифры, возникнет период. Поэтому десятичная запись рационального числа конечна или периодична. У иррационального числа она бесконечна и непериодична: иначе по конечной части и повторяющемуся блоку можно было бы восстановить дробь.

Рациональные и иррациональные числа вместе образуют действительные числа, потому что для каждой точки числовой прямой можно указать число, а каждое действительное число можно отметить точкой. Между целыми числами есть дроби, а между дробями — также иррациональные числа, поэтому прямая не сводится к отдельным редким отметкам. Такое соответствие помогает переводить задачу о числах в задачу о расположении точек и обратно. Например, большему числу соответствует точка правее.

Иррациональное число часто задают приближённо: √2 ≈ 1,414. Знак ≈ означает «приблизительно равно», а не точное равенство: цифры после третьего знака не исчезают, а просто не записаны. Чтобы получить приближение с нужной точностью, находят, между какими десятичными дробями лежит число, и при необходимости округляют его. Чем меньше расстояние между границами, тем точнее известное значение.

Рациональные и иррациональные числа

Сначала проверьте, можно ли записать число дробью целых чисел; для десятичной записи ищите окончание или повторяющийся блок. В примерах с корнями выясните, является ли подкоренное число полным квадратом. Последняя строка напоминает: оба вида чисел расположены на одной числовой прямой.

Разбор задач

Задача 1. Определить, какие числа 0,25; √9; √2; 0,121212… рациональны, а какие иррациональны. Будем проверять каждое число по определению, не считая все корни автоматически иррациональными. Повторяющаяся запись также может быть рациональной, потому что её можно представить дробью.

1. 0,25 — конечная десятичная дробь, поэтому это рациональное число: 0,25 = 25/100 = 1/4.
2. √9 = 3, а целое число можно записать дробью 3/1; значит, √9 рационально.
3. √2 — иррациональное число, как показывает доказательство от противного ниже.
4. В записи 0,121212… повторяется блок 12. Это рациональное число: 0,121212… = 12/99 = 4/33.

Ответ: рациональны 0,25, √9 и 0,121212…; иррационально √2. Проверка по записи и значению корня даёт разные, но одинаково надёжные способы классификации. Не следует определять вид числа только по наличию знака корня.

Задача 2. Доказать, что √2 — иррациональное число. Предположим обратное, то есть что существует несократимая дробь a/b, равная √2. Несократимой называют дробь, у которой числитель и знаменатель не имеют общего делителя, кроме 1.

1. Возведём равенство √2 = a/b в квадрат и получим a² = 2b².
2. Правая часть чётная, значит, a² чётно; тогда a тоже чётно. Запишем a = 2k.
3. Подставим: 4k² = 2b², откуда b² = 2k². Значит, b также чётно.
4. И a, и b делятся на 2, поэтому исходную дробь можно сократить. Это противоречит предположению, что она несократима.

Ответ: √2 иррационально, потому что предположение о представлении его несократимой дробью приводит к противоречию. В доказательстве важно использовать чётность и несократимость, а не только утверждать, что дробь не находится. Тот же приём «от противного» применяют, когда нужно опровергнуть возможность рациональной записи.

Задача 3. Указать, между какими последовательными десятичными дробями с точностью до тысячных находится √5, и записать его приближение. Ищем числа, у которых три знака после запятой, а квадраты располагаются по разные стороны от 5. Это позволит ограничить корень, поскольку при положительных числах большему числу соответствует больший квадрат.

1. Проверим нижнюю границу: 2,236² = 4,999696, это меньше 5.
2. Проверим верхнюю границу: 2,237² = 5,004169, это больше 5.
3. Значит, 2,236 < √5 < 2,237. Чтобы записать приближение до тысячных, уточним, что √5 ≈ 2,236, то есть округляем вниз, так как следующая цифра меньше 5.

Ответ: √5 находится между 2,236 и 2,237; приближение до тысячных — 2,236. Это не точное равенство: √5 продолжает бесконечную непериодическую десятичную запись. Сравнение квадратов доказывает границы, а округление выбирает удобную конечную запись.

Типичные ошибки

• Считать всякую бесконечную десятичную дробь иррациональной. Ошибка возникает, если не заметить, что бесконечная запись может повторять период: например, 0,121212… рационально. Проверьте, повторяется ли блок цифр; бесконечность сама по себе не доказывает иррациональность.
• Считать √n иррациональным при любом натуральном n. Под корнем может стоять полный квадрат, и тогда корень целый: √9 = 3. Перед выводом вычислите, не является ли n квадратом целого числа.
• Принимать округлённую запись за точное значение. Конечная дробь кажется удобной и потому может ошибочно заменить исходное число. Записывайте √2 ≈ 1,414, а не √2 = 1,414, и помните, что округление отбрасывает дальнейшие цифры.
• Путать рациональность со знаком числа. Иногда слово «иррациональный» ошибочно связывают с отрицательным числом или считают все отрицательные числа рациональными. Знак и возможность представить число дробью — разные свойства: например, −√2 иррационально, а −3 рационально.

Связь с другими темами

Для этой темы пригодятся знания об обыкновенных и десятичных дробях, рациональных числах и периодической десятичной записи. Иррациональные и действительные числа встречаются при вычислениях с корнями, при нахождении длин и при задании координат точек на числовой прямой. Позже понятие действительного числа станет основой для изучения функций, уравнений и неравенств: их значения и решения часто описываются именно действительными числами.

Что запомнить

• Рациональное число можно представить дробью целых чисел с ненулевым знаменателем.
• Десятичная запись рационального числа конечна или периодична.
• Иррациональная десятичная запись бесконечна и непериодична.
• √2 — пример иррационального числа; √9 — рациональное число.
• Рациональные и иррациональные числа вместе составляют действительные числа.
• Каждому действительному числу соответствует точка числовой прямой.