"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Числа делятся на множества: от натуральных, которыми считают, до действительных, которым соответствуют точки числовой прямой. Каждое следующее множество расширяет предыдущее, чтобы можно было записывать новые результаты вычислений: например, вычитать большее число из меньшего или находить длину диагонали квадрата. Главное — различать рациональные и иррациональные числа по их дробной и десятичной записи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральные числа — числа, которыми пользуются при счёте: 1, 2, 3 и так далее. В принятой в этом учебнике договорённости к ним относят и 0. Это множество удобно, когда нужно посчитать предметы или указать их количество, включая отсутствие предметов.
Целые числа получаются, если к натуральным добавить ноль и числа, противоположные натуральным: −1, −2, −3 и так далее. Противоположные числа отличаются только знаком и вместе с нулём позволяют описывать, например, движение в обе стороны от начала отсчёта. Поэтому вычитание большего числа из меньшего не требует выхода за пределы целых чисел.
Рациональным называется число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Знаменатель не может быть нулём, потому что на ноль делить нельзя. Это определение помогает объединить в одно множество обыкновенные дроби, целые числа и некоторые десятичные записи.
Иррациональное число нельзя представить дробью m/n с целыми числителем и ненулевым знаменателем. Действительные числа — это все рациональные и иррациональные числа вместе. Такое широкое множество нужно, чтобы описывать все точки числовой прямой, в том числе связанные с длинами и корнями.
Числовые множества расширяются по мере того, как возникают задачи, для которых прежних чисел недостаточно. Например, при вычитании 5 из 3 результат −2 уже не натуральный, но целый; дробь ½ не целая, зато рациональная. Поэтому натуральные числа входят в целые, целые — в рациональные, а вместе рациональные и иррациональные образуют действительные числа.
Дробная запись связывает обыкновенные дроби с десятичными. Конечную десятичную дробь можно записать как дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее: например, 0,25 = 25/100. Периодическую запись тоже можно представить обыкновенной дробью, поэтому и конечные, и бесконечные периодические десятичные числа рациональны.
В десятичной записи рационального числа после запятой либо заканчиваются цифры, либо повторяется один и тот же блок. Это следует из деления числителя на знаменатель: остаток может принимать лишь конечное число значений, поэтому он либо станет нулём, либо начнёт повторяться. У иррационального числа запись бесконечна и непериодична: повторяющегося блока в ней нет.
Иррациональность не означает, что число невозможно определить точно. Например, √2 задаёт длину диагонали квадрата со стороной 1 по теореме Пифагора, хотя её десятичная запись не заканчивается и не повторяется. Число 1,414 — только приближение √2, а не его точная запись.
На числовой прямой действительным числам соответствуют точки, расположенные в порядке возрастания. Для каждого действительного числа можно отметить единственную точку с таким значением координаты, а каждой точке прямой сопоставить число. Поэтому прямая позволяет наглядно сравнивать числа и понимать, где находится точное значение, даже если его десятичная запись бесконечна.
| Множество | Какие числа входят | Примеры | Как соотносится с другими множествами |
|---|---|---|---|
| Натуральные числа | Числа для счёта, в принятой здесь договорённости включая 0 | 0, 1, 7 | Входят в целые |
| Целые числа | Натуральные, 0 и противоположные им числа | −4, 0, 7 | Входят в рациональные |
| Рациональные числа | Числа вида m/n, где m и n целые, n ≠ 0 | 2/3, −4, 0,125 | Содержат целые; вместе с иррациональными образуют действительные |
| Иррациональные числа | Числа, не представимые дробью m/n | √2, π | Вместе с рациональными образуют действительные |
| Действительные числа | Все рациональные и иррациональные числа | −4, 2/3, √2 | Объединяют рациональные и иррациональные |
Сначала найди для числа самое узкое подходящее множество, а затем учти, что оно входит и во все более широкие множества. Например, натуральное число одновременно целое, рациональное и действительное. Иррациональное число является действительным, но не рациональным.
Распредели числа 7, 0, −4 и 2/3 по числовым множествам, которым они принадлежат. Удобно начать с самого узкого множества для каждого числа и затем добавить множества, которые его содержат. Помни, что в принятой здесь договорённости 0 входит в натуральные числа.
Ответ: 7 и 0 принадлежат натуральным, целым, рациональным и действительным; −4 — целым, рациональным и действительным; 2/3 — рациональным и действительным.
Определи, рационально ли число 0,125, и запиши его обыкновенной дробью. Конечная десятичная запись означает, что число можно представить дробью со знаменателем — степенью десяти. После этого дробь стоит сократить, если у числителя и знаменателя есть общий делитель.
Ответ: 0,125 — рациональное число; 0,125 = 1/8.
Объясни, почему √2 иррационально, и укажи, между какими соседними целыми числами оно находится. Чтобы установить расположение корня, сравним квадраты целых чисел с подкоренным числом. Иррациональность можно проверить от противного, предположив, что корень записывается дробью.
Ответ: √2 иррационально и расположено между соседними целыми числами 1 и 2.
Ошибка: считать все бесконечные десятичные записи иррациональными. Так думают, потому что бесконечную запись легко спутать с неповторяющейся; однако у рационального числа запись может бесконечно повторять блок цифр, например 0,333… Проверь, есть ли в записи период: если он есть, число рационально.
Ошибка: считать конечную десятичную дробь отдельным видом числа, не относящимся к рациональным. Запись с запятой выглядит иначе, чем обыкновенная дробь, но её можно преобразовать, например 0,25 = 25/100 = 1/4. Для проверки поставь в знаменатель подходящую степень десяти и сократи дробь.
Ошибка: исключать отрицательные числа из рациональных. Причина — в том, что слово «дробь» иногда связывают только с положительными числами, хотя определение допускает целый числитель любого знака. Запиши число со знаменателем 1: например, −4 = −4/1, и проверь условие n ≠ 0.
Ошибка: принимать десятичное приближение за точное значение иррационального числа. Ограниченная запись вроде 1,414 не передаёт все цифры √2, хотя и близка к нему. Сверяй точность записи: √2 задаёт число точно, а 1,414 — лишь приближённо.
Для работы с числовыми множествами нужно уметь обращаться с обыкновенными и десятичными дробями, целыми числами и координатной прямой. Эти знания помогают проверять, можно ли представить число дробью, и находить его место среди других чисел. Классификация пригодится при сравнении чисел, вычислениях с корнями и изучении числовых промежутков.
Числовая прямая связывает сами числа с их координатами. Та же идея используется при изучении координат, уравнений и графиков функций: значение можно показать точкой, а изменение значений — движением по прямой или линией на координатной плоскости. Поэтому умение соотносить число и точку станет основой для дальнейших тем.
Входит ли ноль в натуральные числа?
В этом учебнике принято считать ноль натуральным числом. В других источниках договорённость может отличаться, поэтому при решении задачи учитывай определение, которым пользуются.
Почему целое число считается рациональным?
Любое целое число можно записать дробью со знаменателем 1: например, −4 = −4/1. Такая запись подходит под определение рационального числа.
Как по десятичной записи понять, рационально ли число?
Рациональная десятичная запись либо заканчивается, либо бесконечно повторяет один и тот же блок цифр. Бесконечная запись без периода относится к иррациональным числам.
Почему √2 нельзя записать обыкновенной дробью?
Если бы √2 равнялось дроби несократимого вида m/n, то из равенства m² = 2n² следовало бы, что m чётно, а затем и n чётно. Это противоречит тому, что дробь несократима, поэтому √2 нельзя представить дробью целых чисел.
Чем точное значение числа отличается от его десятичного приближения?
Точная запись задаёт число полностью: например, √2 — это точная длина диагонали квадрата со стороной 1. Запись 1,414 — лишь приближение, которое не совпадает с √2 и содержит ограниченное число знаков.
Как «устроены» числа
