Простая арифметика

Определения и обозначения

Сложение — действие, при котором несколько чисел объединяют; его результат называют суммой, а числа — слагаемыми. Например, в записи 7 + 5 = 12 числа 7 и 5 — слагаемые, а 12 — сумма. Сложение помогает узнать общее количество, когда известны отдельные части. Знак сложения — «+».

Вычитание — действие, при котором из одного числа вычитают другое; результат называют разностью. В записи 14 − 6 = 8 число 14 — уменьшаемое, 6 — вычитаемое, а 8 — разность. Вычитание нужно, чтобы найти остаток или узнать, на сколько одно число больше другого. Действие обозначают знаком «−».

Умножение — действие, заменяющее сложение одинаковых слагаемых; результат называют произведением, множители — сомножителями. Например, 4 · 3 означает 3 + 3 + 3 + 3, а результат равен 12. Умножение удобно, когда одно и то же количество повторяется несколько раз. Его обозначают точкой «·» или знаком «×».

Деление — действие, показывающее, сколько раз одно число содержится в другом; результат называют частным. В записи 20 : 4 = 5 число 20 — делимое, 4 — делитель, 5 — частное. Деление помогает распределить количество поровну или определить число равных групп. Делить на ноль нельзя.

Как это устроено

Сложение и умножение можно выполнять в любом порядке, потому что перестановка объединяемых частей не меняет их общее количество. Например, 8 + 3 равно 3 + 8, а при умножении 4 · 6 равно 6 · 4. Это свойства перестановки слагаемых и множителей. У вычитания и деления такого свойства нет: если поменять числа местами, изменится вопрос, на который отвечает действие.

Сложение и вычитание называют взаимно обратными действиями, потому что одно действие позволяет отменить другое. Если к 9 прибавить 4 и получить 13, то из 13 можно вычесть 4 и вернуться к 9. Умножение и деление связаны так же: если 5 · 3 = 15, то 15 : 3 = 5. Эта связь помогает находить неизвестный компонент и проверять вычисления.

Изменение компонента по-разному влияет на результат разных действий. Если увеличить слагаемое на несколько единиц, сумма увеличится на столько же; если увеличить вычитаемое, разность уменьшится. При увеличении множителя произведение обычно увеличивается, а при увеличении делителя частное уменьшается, если делимое не меняется. Эти связи позволяют заранее оценить результат и заметить ошибку.

В выражении с несколькими действиями скобки показывают, что нужно выполнить в первую очередь: они объединяют числа в отдельную часть вычисления. Затем выполняют умножение и деление, потому что они соответствуют повторению одинаковых групп и имеют более высокий приоритет, чем сложение и вычитание. Действия одного приоритета выполняют слева направо. Поэтому вычисление длинного выражения нельзя начинать просто с его левого края, не глядя на знаки.

Обратное действие позволяет проверить вычисление: к разности прибавляют вычитаемое, а частное умножают на делитель. Если проверка возвращает исходное число, результат согласуется с выполненным действием. Дополнительно полезно прикинуть ответ: например, сумма 348 и 127 должна быть больше 348, а цена нескольких покупок не может быть меньше цены самой дорогой покупки. Такая оценка помогает найти грубую ошибку даже до точной проверки.

Четыре арифметических действия

Сначала найдите в таблице название действия и его компонентов, чтобы правильно прочитать запись. Строка об обратном действии подскажет, как проверить результат, а строка об ограничениях — допустимо ли действие. Свойство перестановки относится только к сложению и умножению.

Разбор задач

Вычислить 348 + 127 − 95

В выражении только сложение и вычитание, поэтому действия выполняем слева направо. Складываем числа по разрядам, а затем вычитаем 95 из полученной суммы. Так мы сохраняем порядок выражения и не смешиваем единицы, десятки и сотни.

1. Сначала вычислим 348 + 127. Единицы: 8 + 7 = 15, записываем 5 единиц и переносим 1 десяток. Десятки: 4 + 2 + 1 = 7, сотни: 3 + 1 = 4, значит, сумма равна 475.

2. Теперь найдём 475 − 95. Удобно вычесть сначала 100, а затем прибавить 5: 475 − 100 + 5 = 380. Этот способ не меняет результат, так как вычитание 95 на пять меньше вычитания 100.

3. Проверим ход вычисления обратным действием: к 380 прибавим 95 и получим 475. Это совпадает с промежуточной суммой, поэтому вычисления согласуются. Ответ: 380.

Вычислить 6 · (18 − 5) + 24 : 3

Скобки указывают, что разность 18 − 5 нужно найти первой. После этого останутся умножение, деление и сложение: умножение и деление выполняются раньше сложения. Поскольку умножение и деление имеют одинаковый приоритет, каждое из них считаем отдельно, а затем складываем результаты.

1. Выполним действие в скобках: 18 − 5 = 13. Получается выражение 6 · 13 + 24 : 3. Скобки больше не нужны, потому что разность уже найдена.

2. Вычислим умножение и деление: 6 · 13 = 78, а 24 : 3 = 8. Получаем 78 + 8. Можно проверить деление умножением: 8 · 3 = 24.

3. Осталось сложить 78 и 8: результат равен 86. Он больше каждого из этих слагаемых, что соответствует смыслу сложения. Ответ: 86.

Покупка в магазине

Купили 4 тетради по 38 рублей и ручку за 57 рублей. За всю покупку заплатили 300 рублей; нужно найти сдачу. Сначала определим стоимость одинаковых тетрадей, затем прибавим цену ручки и вычтем общую стоимость из уплаченной суммы.

1. Стоимость тетрадей равна 4 · 38. Считаем: 38 · 4 = 152 рубля. Умножение подходит, потому что цена каждой тетради одинакова.

2. Найдём стоимость всей покупки: 152 + 57 = 209 рублей. Это больше цены тетрадей, как и должно быть после добавления ручки. Значит, за покупку нужно заплатить 209 рублей.

3. Вычислим сдачу: 300 − 209 = 91 рубль. Проверка: 209 + 91 = 300, то есть стоимость покупки вместе со сдачей равна уплаченной сумме. Ответ: 91 рубль.

Типичные ошибки

• Иногда выражение считают слева направо, не обращая внимания на знаки действий. Так поступают, потому что порядок записи кажется готовой инструкцией, но умножение и деление нужно выполнять раньше сложения и вычитания. Перед вычислением отметьте скобки и действия одинакового приоритета. Проверьте, не выполнили ли вы сложение раньше умножения.

• Вычитание или деление ошибочно считают переставляемыми, как сложение и умножение. Причина — все четыре действия выглядят как операции над двумя числами, хотя их смысл различается. Сравните, например, 9 − 4 и 4 − 9: результаты не одинаковы. При перестановке компонентов проверьте результат на простых числах.

• Компоненты действия называют неточно: уменьшаемое путают с вычитаемым, а делитель — с делимым. Это часто происходит, если запоминать названия отдельно от смысла записи. В вычитании первым стоит число, из которого вычитают, а при делении делимое делят на делитель. Прочитайте пример словами, чтобы проверить, правильно ли названы числа.

• Некоторые пытаются разделить число на ноль или забывают проверку обратным действием. Ошибка возникает, когда правило считают формальностью и не связывают деление с умножением. Умножьте предполагаемое частное на делитель: при нулевом делителе проверка не позволяет получить исходное ненулевое число. Также оцените ответ по смыслу задачи.

Связь с другими темами

Для работы с арифметическими действиями нужны натуральные числа, понимание разрядного состава и знание таблицы умножения. Эти знания помогают правильно записывать вычисления столбиком и быстрее находить произведения и частные. Далее те же действия встречаются в числовых выражениях, при вычислениях с дробями, в уравнениях и текстовых задачах. Правила порядка действий пригодятся и при изучении алгебраических выражений и формул.

Что запомнить

• Сложение и умножение допускают перестановку компонентов, вычитание и деление — нет.
• Вычитание проверяют сложением.
• Деление проверяют умножением.
• Сначала выполняют действия в скобках.
• Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• На ноль делить нельзя.
• Результат вычислений должен соответствовать смыслу задачи.