Вычисляем в пределах 20

Определения и обозначения

Числами в пределах 20 называют числа от 0 до 20 включительно. С ними выполняют сложение и вычитание, стараясь получить ответ в том же диапазоне. Такие вычисления нужны в устном счёте и при решении задач. Чтобы считать уверенно, полезно замечать, как числа устроены.

Второй десяток — это числа от 11 до 19: каждое из них состоит из одного десятка и нескольких единиц. Например, 14 — это 10 и ещё 4, то есть 14 = 10 + 4. Такое представление называют разложением числа на десяток и единицы. Оно помогает не путать десятки с единицами и выбирать удобный ход вычисления.

Сложение с переходом через десяток — это сложение, при котором сумма единиц достигает или превышает 10. Например, в выражении 8 + 5 единицы можно объединить в десяток и ещё 3 единицы: получается 13. Десять единиц образуют один десяток. Этот приём позволяет считать по частям, не теряя полученный десяток.

Вычитание с переходом через десяток выполняют, когда из числа нужно вычесть больше единиц, чем в нём есть. Тогда один десяток раскладывают на 10 единиц, а нужное количество вычитают по частям. Например, в числе 13 можно представить десяток как 10 единиц и затем вычитать из 13. Так легче увидеть, откуда берутся единицы и почему ответ получается меньше уменьшаемого.

Как это устроено

Число второго десятка удобно записывать как 10 плюс несколько единиц: например, 17 = 10 + 7. При сложении или вычитании можно отдельно работать с десятком и единицами, если единицы не требуют перехода через десяток. Такая запись помогает не пересчитывать всё число заново. Она также подсказывает, сколько единиц осталось до ближайшего десятка.

При сложении однозначных чисел с переходом через десяток первое слагаемое удобно дополнить до 10. Например, чтобы вычислить 8 + 7, от 7 отделяют 2: столько нужно, чтобы к 8 прибавить 10. Оставшиеся 5 прибавляют к десятку, поэтому 8 + 7 = 8 + 2 + 5 = 15. Этот способ работает потому, что число 7 разделили на части, сумма которых по-прежнему равна 7.

При вычитании с переходом через десяток число можно разделить так, чтобы сначала дойти до 10. Например, в 15 − 8 сначала вычитают 5 и получают 10, затем из оставшихся 3 вычитают ещё 3: результат равен 7. Такой ход удобен, потому что вычитание от круглого десятка легко выполнить по составу числа. Разложение вычитаемого на части сохраняет исходное действие: 5 + 3 = 8.

Сложение и вычитание связаны как обратные действия: сложение возвращает число, из которого вычитали. Поэтому результат вычитания можно проверить сложением вычитаемого и разности, то есть результата вычитания. Например, если 15 − 8 = 7, то проверка выглядит так: 7 + 8 = 15. Если исходное число не получилось, значит, в вычислении или записи есть ошибка.

Удобный способ зависит от чисел: можно разложить первое число на десяток и единицы или разделить второе число на части. Выбирай тот вариант, где проще сначала получить 10 или выполнить действия с небольшими числами. После вычисления оцени ответ: при сложении он должен быть больше слагаемых, а при вычитании — меньше уменьшаемого. Также проверь, что ответ не вышел за пределы 20.

Способы вычислений в пределах 20

Сначала определи, есть ли переход через десяток: посмотри на сумму или разность единиц. Затем выбери подходящий приём и разложи число на части, если так считать удобнее. После вычисления проверь ответ обратным действием или прикинь, подходит ли он по величине.

Разбор задач

Вычисли 13 + 4 и объясни, как разряды числа помогают выполнить сложение.

В числе 13 есть один десяток и 3 единицы. Добавим к нему ещё 4 единицы: единицы можно сложить отдельно, потому что их сумма меньше 10. Десяток при этом не меняется. Значит, новое число состоит из одного десятка и семи единиц.

1. Представим число 13 как сумму: 13 = 10 + 3.
2. Прибавим 4 к единицам: 3 + 4 = 7.
3. Сохраним десяток: 10 + 7 = 17.

Ответ: 17. Разрядный состав помог не смешивать десяток и единицы, а перехода через десяток здесь нет. Проверим по величине: мы прибавили 4 к 13, поэтому ответ должен быть больше 13, но меньше 20. Число 17 этому условию подходит.

Вычисли 8 + 7 двумя способами и проверь, одинаковый ли получился результат.

При сложении 8 и 7 единиц получается больше 10, поэтому удобно образовать десяток. Первый способ — дополнить 8 до 10; второй — разложить 8 на 5 и 3, чтобы соединить 5 и 7. В обоих случаях части складываются в исходные числа, поэтому значение суммы не меняется. Сравнение результатов подтвердит вычисление.

1. Первый способ: разделим 7 на 2 и 5. Тогда 8 + 7 = 8 + 2 + 5 = 10 + 5 = 15.
2. Второй способ: разделим 8 на 5 и 3. Тогда 8 + 7 = 5 + 3 + 7 = 5 + 10 = 15.
3. Сравним ответы: в обоих способах получилось 15.

Ответ: 15. Два разложения привели к одному результату, потому что слагаемые только разделили на части, но не изменили. Проверка оценкой тоже подходит: 8 + 7 больше 10, но меньше 20. Значит, 15 — разумный ответ в пределах 20.

В коробке было 16 карандашей. 9 карандашей раздали. Сколько осталось? Запиши вычисление и проверь его.

Раздали часть карандашей, значит, нужно вычитание: из начального количества убрать отданное. В числе 16 есть 6 единиц, поэтому удобно сначала вычесть 6 и дойти до 10. Из 9 карандашей, которые нужно вычесть, останется ещё 3. Такой порядок помогает не менять роли чисел и видеть переход через десяток.

1. Запишем действие: 16 − 9.
2. Разложим 9 на 6 и 3: 16 − 6 = 10, затем 10 − 3 = 7.
3. Проверим сложением: к остатку прибавим разд��анные карандаши, 7 + 9 = 16.

Ответ: осталось 7 карандашей. Проверка вернула начальное количество, значит, вычисление согласуется с условием. Ответ меньше 16, как и должно быть после того, как часть карандашей раздали. Все числа и результат находятся в пределах 20.

Типичные ошибки

При сложении с переходом через десяток можно забыть, что 10 единиц образуют новый десяток, и записать только оставшиеся единицы. Так происходит, если считать единицы отдельно и не связывать их с составом числа. Проверь, сколько получилось единиц и какой десяток они образуют: например, 8 + 5 — это 10 и ещё 3, то есть 13. Ответ 3 здесь не учитывает полный десяток.

При вычитании иногда переставляют числа и вычитают меньшее из большего независимо от их порядка. Но уменьшаемое показывает, из какого числа вычитают, а вычитаемое — сколько убирают. Поэтому в выражении 7 − 12 нельзя просто поменять числа местами и получить 5. Сверь вычисление с условием и помни: при вычитании порядок чисел менять нельзя.

Разлагая второе слагаемое или вычитаемое, ученик может выбрать части, которые не составляют исходное число. Ошибка возникает, когда часть вычисления выполняют в уме и теряют одну единицу. Проверь разложение отдельным сложением: например, если 7 представлено как 2 и 5, то 2 + 5 должно равняться 7. Если не равняется, вычисление по частям начинать нельзя.

Запись ответа без проверки не позволяет заметить случайную ошибку. При вычитании можно прибавить вычитаемое к результату и проверить, получилось ли уменьшаемое. Кроме того, оцени ответ: после вычитания он должен быть меньше начального числа, а после сложения — больше слагаемых. Такая проверка помогает обнаружить неверный ответ даже тогда, когда промежуточные действия выглядят убедительно.

Связь с другими темами

Для этих вычислений нужны знание состава чисел первого десятка, таблица сложения в пределах 10 и понимание разрядного состава чисел второго десятка. Если эти основы знакомы, число можно разложить на десяток и единицы и подобрать удобный приём. Способы счёта пригодятся в устных вычислениях и текстовых задачах, где нужно определить, какое действие выбрать. Позже они помогут осваивать сложение и вычитание двузначных чисел.

Что запомнить

• Число второго десятка состоит из одного десятка и единиц.
• Чтобы сложить с переходом через десяток, удобно сначала дополнить число до 10.
• При вычитании с переходом через десяток можно вычесть сначала до 10.
• Число можно разложить на части так, чтобы вычисление стало проще.
• Вычитание проверяют сложением.
• Порядок чисел при вычитании менять нельзя.