Историческая беседа. Совершенные числа

Определения и обозначения

Натуральное число — число, которое используют при счёте: 1, 2, 3 и так далее. В беседе о совершенных числах рассматривают именно такие числа. Это нужно, чтобы понимать, какие числа мы проверяем.

Делитель числа — число, на которое данное число делится без остатка. Например, 2 — делитель числа 6, потому что 6 : 2 = 3. Понятие делителя помогает составить список чисел для проверки.

Собственные делители числа — его натуральные делители, кроме самого числа. У числа 6 это 1, 2 и 3, но не 6. Такое уточнение нужно, чтобы отделить число от тех частей, сумма которых будет с ним сравниваться.

Совершенное число — натуральное число, равное сумме своих собственных делителей. Например, 6 совершенно, потому что 1 + 2 + 3 = 6. Это определение задаёт точное правило: одной лишь делимости на несколько чисел недостаточно.

Как это устроено

Чтобы найти собственные делители числа, проверь, на какие натуральные числа оно делится без остатка. Начинай с 1 и не включай само проверяемое число. Каждый подходящий делитель записывай в список, а неподходящий пропускай. Такой перебор нужен, чтобы ничего не забыть и не добавить число, которое не делит исходное без остатка.

Проверим число 6. Единица делит любое натуральное число, а 6 делится без остатка на 2 и на 3. Само число 6 в список собственных делителей не входит, поэтому остаются 1, 2 и 3. Их сумма равна 1 + 2 + 3 = 6, значит, 6 — совершенное число.

Теперь рассмотрим 28. При проверке от 1 до 27 получаем делители 1, 2, 4, 7 и 14; каждый из них делит 28 без остатка. Число 28 исключаем, потому что оно не является собственным делителем. Складываем оставшиеся числа: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, поэтому 28 тоже совершенно.

Совершенными числами интересовались ещё в Древней Греции. Математиков привлекало необычное совпадение: число складывается из своих собственных делителей и в точности равно их сумме. Это свойство связывает деление и сложение, поэтому для проверки требуется не только находить делители, но и сравнивать результат сложения с исходным числом.

После 6 и 28 известны, например, числа 496 и 8128. У них тоже сумма собственных делителей равна самому числу, хотя списки делителей заметно длиннее. Можно самостоятельно проверить это свойство сложением. Такие примеры показывают, что совершенные числа существуют и среди больших чисел, но каждое из них нужно проверять по одному и тому же правилу.

Проверяем, является ли число совершенным

Сначала прочитай список собственных делителей, затем сравни сумму с числом в первом столбце. В таблице приведены два совершенных числа и пример числа, которое совершенным не является. По такой же схеме можно проверять другие числа.

Разбор задач

1. Найди собственные делители числа 10 и выясни, является ли оно совершенным.

1. Проверяем числа от 1 до 9, потому что само число 10 не может быть собственным делителем.
2. На 1, 2 и 5 число 10 делится без остатка: 10 : 1 = 10, 10 : 2 = 5, 10 : 5 = 2. Остальные числа от 3 до 9, кроме найденных, делителями не являются.
3. Складываем найденные делители: 1 + 2 + 5 = 8. Получилось не 10, поэтому условие совершенного числа не выполнено.

Ответ: собственные делители 10 — 1, 2 и 5; число 10 не является совершенным.

2. Проверь, является ли число 28 совершенным.

1. Ищем делители числа 28, не включая 28. Удобно проверять деление по порядку: 28 делится на 1, 2 и 4, а также на 7 и 14.
2. Проверяем, не пропущены ли делители: пары 1 и 28, 2 и 14, 4 и 7 дают произведение 28. В каждой паре оставляем только числа, меньшие 28.
3. Получаем собственные делители 1, 2, 4, 7 и 14. Складываем их: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, то есть сумма совпала с исходным числом.

Ответ: 28 — совершенное число.

3. Из чисел 12, 18 и 20 найди совершенное, если оно есть.

1. Для 12 собственные делители — 1, 2, 3, 4 и 6. Их сумма равна 16, поэтому 12 не совершенно.
2. Для 18 собственные делители — 1, 2, 3, 6 и 9. Их сумма равна 21, поэтому 18 не совершенно.
3. Для 20 собственные делители — 1, 2, 4, 5 и 10. Их сумма равна 22, поэтому 20 тоже не совершенно.

Ответ: среди чисел 12, 18 и 20 совершенных нет. Чтобы сделать такой вывод, мы проверили каждое число отдельно и сравнили сумму его собственных делителей с самим числом.

Типичные ошибки

В сумму включают само число. Так поступают, если забывают, что собственные делители не включают исходное число. Тогда сравнение становится неправильным. Проверь себя: вычеркни из списка делитель, который совпадает с числом, которое проверяешь.

Забывают делитель 1. Это случается, когда перебор начинают с 2 или сосредотачиваются на парах делителей. Единица делит любое натуральное число без остатка. Перед сложением проверь, что 1 есть в списке собственных делителей.

Записывают делитель дважды. При поиске пар делителей один и тот же результат можно случайно внести в список повторно. Например, при проверке квадратного числа пара может состоять из одинаковых чисел. Пересмотри список и убедись, что каждое значение записано только один раз.

Считают число совершенным из-за наличия нескольких делителей. Несколько делителей есть у многих чисел, но это ещё не доказывает совершенность. Ошибка возникает, если забыть сложить найденные числа. Для проверки вычисли сумму и сравни её с исходным числом: только равенство даёт нужный вывод.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны натуральные числа, деление без остатка и умение находить делители. Разложение числа на множители помогает быстрее обнаруживать делители и их пары, а сложение позволяет проверить определение совершенного числа. Понятие делителя пригодится при изучении кратных, простых и составных чисел. Так арифметические действия связываются с историей математики: совершенные числа привлекали внимание учёных ещё в Древней Греции.

Что запомнить

• Совершенное число равно сумме своих собственных делителей.
• Собственные делители не включают само число.
• Число 6 — совершенное: 1 + 2 + 3 = 6.
• Число 28 — совершенное: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
• Чтобы проверить число, найди все его собственные делители и сложи их.
• Наличие делителей само по себе ещё не делает число совершенным.