"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Кратчайший путь — маршрут между заданными точками с наименьшей возможной длиной. На плоскости, если двигаться можно свободно, таким путём будет отрезок. Но условия могут ограничивать движение: например, разрешать идти только по линиям сетки или по граням фигуры. Тогда нужно сравнить длины допустимых маршрутов или развернуть поверхность на плоскость. Умение выбирать способ помогает решать геометрические задачи и проверять, действительно ли найденный маршрут самый короткий.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Кратчайший путь — путь между заданными точками, длина которого не больше длины любого другого допустимого пути. Иначе говоря, среди всех маршрутов, разрешённых условием, он самый короткий. Это понятие помогает точно сформулировать, что именно требуется найти.
Длина пути — сумма длин всех его участков. Например, если маршрут состоит из двух отрезков длиной 3 см и 5 см, его длина равна 8 см. Перед подсчётом нужно выяснить, какие участки разрешено проходить.
Ломаная — фигура из последовательно соединённых отрезков, которые называются её звеньями. Длина ломаной равна сумме длин всех звеньев. Ломаные часто изображают маршруты с поворотами и позволяют сравнивать их с прямым путём.
Неравенство треугольника означает, что сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей стороны. Поэтому обход по двум сторонам длиннее прямого отрезка между их концами. Это правило помогает объяснить, почему путь с поворотом обычно не короче прямого.
Представь две точки на плоскости и натянутую между ними нить. Если нить не нужно обходить вокруг препятствий, натянутая нить образует отрезок. Любая ломаная между теми же точками имеет длину не меньше: каждый её поворот добавляет участок, который можно заменить более прямым соединением. Поэтому при свободном движении кратчайший путь — отрезок.
Рассмотрим поворот маршрута: сначала путь идёт из точки A в точку B, затем из B в точку C. Эти три точки образуют треугольник, если они не лежат на одной прямой. По неравенству треугольника AB + BC > AC. Значит, два последовательных участка можно заменить одним отрезком AC и не увеличить длину маршрута. Если повторять такую замену для каждого поворота, ломаная постепенно станет прямым отрезком.
Иногда двигаться напрямую нельзя: например, разрешено ходить только по линиям клетчатой сетки. В таком случае отрезок между точками может не быть допустимым маршрутом. Нужно определить возможные направления и обязательное число шагов в каждом из них, а затем сложить их длины. Если допустимых маршрутов несколько, сравнивают их общие длины, а не количество поворотов или участков.
Для пути по поверхности многогранника удобно представить, что его грани разрезали по рёбрам и разложили на столе. Такая плоская фигура называется развёрткой поверхности; размеры граней при этом сохраняются. На развёртке отмечают начало и конец пути, после чего проводят между ними отрезок. Он показывает кратчайший путь только тогда, когда проходит по граням, которые разрешено использовать; длину иногда находят с помощью теоремы Пифагора.
Способ поиска зависит от ограничений задачи, а не только от того, как маршрут выглядит на рисунке. При свободном движении по плоскости достаточно провести отрезок, а на сетке нужно соблюдать разрешённые направления. На поверхности путь должен оставаться на указанных гранях. Поэтому сначала определяют допустимые маршруты, и только потом ищут самый короткий.
| Условие задачи | Как искать путь | Почему способ работает |
|---|---|---|
| Свободное движение по плоскости | Соединить точки отрезком. | Отрезок не длиннее любой соединяющей их ломаной. |
| Движение по линиям сетки | Посчитать обязательные шаги по разрешённым направлениям. | Для каждого направления нужно пройти заданное число шагов. |
| Путь по поверхности многогранника | Развернуть нужные грани и провести отрезок по развёртке. | Развёртка сохраняет длины участков поверхности. |
| Несколько допустимых маршрутов | Вычислить длину каждого и сравнить результаты. | Кратчайшим будет допустимый маршрут с наименьшей длиной. |
Сначала найди в таблице условие, похожее на задачу, и выбери подходящий способ. Затем обязательно проверь, что найденный маршрут не нарушает ограничения. Если способов несколько, сравнивай именно длины путей.
Найди кратчайший путь из одного угла прямоугольника в противоположный, если идти можно только вдоль его сторон. Пусть стороны прямоугольника равны 4 см и 7 см. Прямой отрезок между углами не подходит: он не проходит вдоль сторон, как требует условие. Сравним два допустимых маршрута.
Ответ: кратчайший путь равен 11 см; существуют два маршрута такой длины.
Найди кратчайший маршрут между двумя узлами сетки, если можно двигаться только вправо и вверх. Пусть конечный узел расположен на 5 клеток правее и на 3 клетки выше начального, а сторона клетки равна 1 см. Хотя маршрутов с разным порядком шагов много, каждому из них нужны одинаковые перемещения по горизонтали и вертикали.
Ответ: кратчайший путь равен 8 см.
Муравей ползёт по граням прямоугольного параллелепипеда из вершины в противоположную вершину. Пусть можно использовать две соседние грани, размеры которых при развёртке образуют прямоугольник 3 см на 4 см. Нужно найти кратчайший путь по этим граням. Прямая в пространстве не подходит: муравей должен двигаться по поверхности, а не сквозь фигуру.
Ответ: кратчайший путь по указанным граням равен 5 см.
Можно принять за кратчайший путь линию, которая выглядит прямой на рисунке. Но она может пересекать место, куда по условию заходить нельзя, или не идти по разрешённым рёбрам. Проверь маршрут: каждую его часть должно быть можно пройти по правилам задачи.
Иногда сравнивают количество участков вместо их общей длины. Это неверно: один длинный отрезок может быть длиннее нескольких коротких. Измерь или вычисли каждый участок, сложи длины отдельно для каждого маршрута и лишь затем сравни суммы.
При развёртке легко неправильно перенести размеры граней или место конечной точки. Тогда проведённый отрезок соединит не те точки, и найденная длина не будет отвечать задаче. Проверь, что соседние грани соединены правильными рёбрами, а начало и конец находятся на нужных гранях.
Ещё одна ошибка — провести на рисунке прямую через воздух и считать её путём по поверхности. Кратчайший отрезок в пространстве может проходить внутри многогранника, где муравей ползти не может. Для проверки разверни разрешённые грани и убедись, что весь маршрут остаётся на поверхности.
Для решения задач понадобятся умения измерять отрезки и складывать их длины. Понятие ломаной помогает записывать маршрут из нескольких звеньев и находить его общую длину. Важно не пропускать участки пути при сложении.
Неравенство треугольника объясняет, почему прямой отрезок короче обхода через промежуточную точку. Эта идея связывает поиск маршрута с геометрией треугольника. Её можно применять при упрощении ломаных.
Поиск кратчайшего пути встречается в задачах на клетчатую сетку, на развёртку поверхности и на выбор маршрута. Навык помогает не только вычислить длину, но и проверить, разрешён ли путь условиями. Один и тот же приём не подходит для всех задач: выбор зависит от правил движения.
Почему отрезок между двумя точками короче ломаной?
Если соединить концы ломаной отрезками, получится треугольник, в котором каждый обходной участок вместе длиннее прямого соединения. Повторяя такую замену, можно сократить ломаную до отрезка или оставить её длину такой же.
Как найти кратчайший путь, если можно идти только по линиям сетки?
Посчитай, сколько шагов нужно сделать в каждом разрешённом направлении, чтобы попасть в конечный узел. Если идти можно только вправо и вверх, число шагов каждого вида одинаково для всех маршрутов. Сложи длины этих шагов.
Всегда ли кратчайший маршрут состоит из одного отрезка?
Нет, если условия не позволяют идти напрямую. На сетке или по поверхности фигуры маршрут может состоять из нескольких участков. Нужно искать самый короткий среди разрешённых путей.
Зачем разворачивать поверхность в задачах о пути по граням?
Развёртка превращает несколько граней в плоскую фигуру, сохраняя их размеры. На ней можно провести прямой отрезок между началом и концом пути и сравнить его с обходами.
Как убедиться, что найденный маршрут действительно самый короткий?
Сначала проверь, что маршрут разрешён условиями задачи. Затем сравни его длину с длинами остальных возможных маршрутов или обоснуй, почему замена его участков прямыми отрезками не может увеличить длину.
Математический кружок. Кратчайший путь
