Тема 19. Признаки делимости

Определения и обозначения

Число делится на другое число нацело, если при делении получается целое число и остатка нет. Например, 12 делится на 3 нацело, потому что 12 : 3 = 4. А при делении 13 на 3 остаётся 1, поэтому 13 на 3 нацело не делится. Это понятие помогает отличать точное деление от деления с остатком.

Признак делимости — правило, по которому можно определить, делится ли число нацело, не выполняя деление. Например, для проверки делимости на 10 достаточно посмотреть на последнюю цифру числа. Такие правила экономят время и помогают быстро проверить ответ или выбрать подходящее число в задаче. Для каждого делителя признак свой.

Признак делимости на 2 говорит: число делится на 2, если его последняя цифра чётная. Чётные цифры — 0, 2, 4, 6 и 8, поэтому 348 делится на 2, а 715 — нет. Это правило особенно удобно для больших чисел: остальные цифры можно не проверять. Оно позволяет быстро определить, является ли натуральное число чётным.

Для проверки делимости на 5 и 10 смотрят на последнюю цифру: на 5 делятся числа с последней цифрой 0 или 5, а на 10 — только с последней цифрой 0. Для делимости на 3 или 9 складывают все цифры числа: сумма должна делиться соответственно на 3 или на 9. Например, сумма цифр числа 234 равна 9, значит, число делится и на 3, и на 9. Эти правила нужны, чтобы проверять делимость по записи числа, а не делением.

Как это устроено

Любое число можно разложить на десятки и единицы: например, 348 = 34 · 10 + 8. Десятки уже содержат множитель 10, а значит, делятся и на 2, и на 5, и на 10. Поэтому для ответа о делимости на эти числа остаётся проверить единицы — последнюю цифру. Если она подходит под нужное правило, всё число делится нацело; иначе остаток от единиц не исчезнет.

Для делимости на 3 и 9 удобно представить число как сумму разрядов. Например, 352 = 3 · 100 + 5 · 10 + 2, а 100 и 10 при делении на 9 дают остаток 1. Значит, число 352 и сумма его цифр 3 + 5 + 2 имеют одинаковый остаток при делении на 9; такое же рассуждение работает и для деления на 3. Поэтому достаточно сложить цифры и проверить получившуюся сумму.

Признак делимости даёт быстрый ответ, но он не отменяет смысла деления с остатком. Например, если число не подходит под признак делимости на 5, значит, при делении на 5 остаток не равен нулю. Само деление с остатком показывает частное и остаток, а признак помогает заранее узнать лишь то, будет ли остаток нулевым. Такое понимание помогает не путать проверку с вычислением частного.

Если нужно проверить делимость сразу на несколько чисел, применяют несколько правил. Например, число делится на 30, если оно делится и на 3, и на 10: проверьте сумму цифр и последнюю цифру. Для делимости на 15 проверьте делимость на 3 и на 5. Оба условия должны выполняться одновременно, иначе делимость на произведение не гарантирована.

У признака есть две полезные стороны: если число удовлетворяет правилу, оно делится нацело, а если не удовлетворяет — не делится. Например, окончание на 0 сразу подтверждает делимость на 10, а любая другая последняя цифра исключает её. Поэтому признак можно использовать и для подтверждения, и для опровержения делимости. Это помогает уверенно отвечать, даже если деление не выполнялось.

Признаки делимости натуральных чисел

Сначала найдите в таблице нужный делитель, затем выполните указанную проверку: посмотрите на последнюю цифру или сложите цифры числа. Примеры показывают, как правило работает, но для другого числа нужно проверить его собственную запись. Если проверяете сразу несколько делителей, пройдите по каждой соответствующей строке отдельно.

Разбор задач

Определим без деления, делятся ли на 2, 5 и 10 числа 348, 715 и 920. Здесь нужно проверять только последнюю цифру каждого числа, потому что все три делителя связаны с разрядом единиц. Для каждого числа последовательно сравним эту цифру с признаками из таблицы. Так мы получим ответ для всех трёх делителей.

1. У числа 348 последняя цифра 8. Она чётная, поэтому 348 делится на 2; цифры 8 нет среди 0 и 5, значит, на 5 число не делится; на 10 оно тоже не делится, так как не оканчивается на 0.
2. У числа 715 последняя цифра 5. Поэтому число не делится на 2, делится на 5 и не делится на 10.
3. У числа 920 последняя цифра 0. Она подходит для признаков на 2, 5 и 10, значит, число делится на все три числа.

Ответ: 348 делится на 2; 715 делится на 5; 920 делится на 2, 5 и 10. Остальные проверки дают отрицательный ответ. Мы не выполняли деление, а использовали только последнюю цифру.

Из цифр 2, 4, 7 составим все возможные трёхзначные числа, делящиеся одновременно на 3 и на 5. Слово «все» означает, что нужно проверить каждый возможный порядок цифр, не повторяя один и тот же порядок. Сначала применим признак на 5: число должно оканчиваться на 0 или 5. Среди данных цифр есть только 2, 4 и 7, поэтому в конце может стоять только 5 — но такой цифры нет.

1. Перечислим возможные последние цифры: 2, 4 или 7. Ни одна из них не равна 0 или 5.
2. Значит, ни одно число, составленное из этих цифр, не делится на 5.
3. Требование делимости одновременно на 3 и на 5 уже не может выполниться; проверять сумму цифр для отбора не требуется.

Ответ: таких чисел нет. Здесь проверка на 5 сразу исключила все варианты. Если бы среди цифр была 5, после выбора последней цифры следовало бы составить подходящие перестановки и проверить сумму цифр на делимость на 3.

Найдём все цифры, которые можно поставить вместо знака в числе 47□2, чтобы оно делилось на 9 и на 2. Последняя цифра уже равна 2, она чётная, поэтому признак делимости на 2 выполняется при любой цифре в окошке. Осталось подобрать цифру так, чтобы сумма всех цифр делилась на 9. Это показывает, как два условия проверяются отдельно.

1. Запишем сумму цифр: 4 + 7 + □ + 2 = 13 + □.
2. Сумма должна делиться на 9. При цифрах от 0 до 9 выражение 13 + □ может равняться 18, поэтому □ = 5.
3. Проверим второе условие: число 4752 оканчивается на 2, значит, оно делится на 2.

Ответ: вместо знака нужно поставить цифру 5. Число 4752 удовлетворяет обоим признакам: сумма цифр равна 18, а последняя цифра чётная. Других подходящих цифр нет, потому что среди значений 13 + □ только 18 делится на 9.

Типичные ошибки

Ошибка — проверять делимость на 3 или 9 только по последней цифре. Так поступают, потому что для делителей 2, 5 и 10 последняя цифра действительно важна, но для 3 и 9 работает другой признак. Чтобы проверить себя, сложите все цифры числа и узнайте, делится ли сумма на нужное число. Например, у 123 последняя цифра 3, но вывод делают по сумме 1 + 2 + 3.

Иногда считают, что чётное число обязательно делится на 5 или 10. Вероятно, признаки смешивают, потому что все они в некоторых случаях проверяются по последней цифре. Однако чётность означает лишь делимость на 2: для деления на 5 нужно окончание 0 или 5, а на 10 — только 0. Проверьте себя на числе 24: оно чётное, но не делится ни на 5, ни на 10.

Ещё одна ошибка — путать признаки на 3 и на 9. В обоих правилах складывают цифры, поэтому легко остановиться на том, что сумма «подходит» для одного из делителей. Но для 3 сумма должна делиться на 3, а для 9 — именно на 9; например, 12 подходит только для первого условия. Проверяя себя, назовите нужный делитель и проверьте сумму именно на него.

Нельзя делать вывод о делимости на произведение чисел, проверив только один множитель. Например, чтобы число делилось на 30, недостаточно убедиться, что оно делится на 10: нужно также проверить делимость на 3. Эту ошибку допускают, когда одно условие кажется главным или уже знакомым. Составьте список всех требуемых проверок и отметьте каждую отдельно.

Связь с другими темами

Для работы с признаками делимости нужны разрядный состав числа, чётные числа и деление с остатком. Разрядный состав объясняет, почему в некоторых проверках важна последняя цифра, а понятие остатка помогает понять, что значит делиться нацело. Эти правила пригодятся при сокращении вычислений и разложении чисел на множители. Они также помогают при нахождении НОД и НОК, проверке результатов деления и составлении чисел по условиям задачи.

Что запомнить

• Признак делимости позволяет проверить делимость числа без непосредственного деления.
• На 2 делятся числа с последней цифрой 0, 2, 4, 6 или 8.
• На 5 делятся числа, оканчивающиеся цифрой 0 или 5.
• На 10 делятся числа, оканчивающиеся цифрой 0.
• На 3 делятся числа, сумма цифр которых делится на 3.
• На 9 делятся числа, сумма цифр которых делится на 9.
• Несколько признаков можно применять последовательно к одному числу.