Тема 24. Применение обыкновенных дробей

Определения и обозначения

Обыкновенная дробь — это запись вида a/b, где числитель показывает, сколько равных долей взято, а знаменатель — на сколько равных долей разделено целое. Например, в дроби 3/5 целое разделили на пять равных частей и взяли три. Это помогает точно описывать части предметов и величин, например часть пути или книги.

Доля величины — одна из равных частей этой величины. Например, одна пятая числа получается, если число разделить на 5: так узнают размер одной из пяти одинаковых частей. Понимание доли помогает не путать целое с его частью и правильно выполнять вычисления.

Нахождение дроби числа — это вычисление указанной части известного числа: число делят на знаменатель и умножают на числитель. Например, чтобы найти 3/5 от числа, сначала находят одну пятую, а затем берут три такие части. Это правило используют, когда целое известно, а требуется узнать его часть.

Нахождение числа по его дроби — это восстановление целого, когда известна величина одной из его дробей. Значение дроби делят на числитель, а затем умножают на знаменатель. Так можно узнать, например, длину всего пути, если известна длина нескольких его равных частей.

Как это устроено

Чтобы найти одну долю, величину делят на знаменатель, потому что знаменатель задаёт количество равных частей целого. Если 20 разделить на 5, каждая из пяти частей будет равна 4. Деление распределяет целое поровну, поэтому результат показывает размер одной доли. Если вместо этого умножить на 5, получится величина в пять раз больше исходной, а не одна часть.

Несколько долей находят в два действия, потому что сначала нужно узнать размер одной доли, а потом взять нужное количество таких долей. Например, 3/5 числа означает три части, каждая из которых равна одной пятой. Поэтому число сначала делят на 5, а результат умножают на 3. Умножение на числитель собирает вместе нужные равные части.

Число по известной дроби находят в обратном порядке, потому что известное значение уже содержит несколько равных долей целого. Сначала значение делят на числитель и узнают размер одной доли. Затем эту долю умножают на знаменатель, чтобы получить все части, из которых состоит целое. Например, если 18 — это три доли, то одна доля равна 18 : 3, а пять долей равны этому результату, умноженному на 5.

В текстовой задаче выбор действия зависит от того, что известно и что требуется найти. Если дано целое и спрашивают, сколько составляет его часть, находят дробь числа. Если дана часть и спрашивают, какова вся величина, находят число по его дроби. Перед вычислениями полезно назвать известное целое или известную часть своими словами: так легче выбрать подходящее правило.

Проверка по смыслу помогает заметить ошибку, даже если вычисления сделаны аккуратно. Если от целого находят правильную дробь, часть должна быть меньше целого; например, 2/5 книги не могут содержать больше страниц, чем вся книга. При восстановлении целого результат должен быть не меньше известной части. Также проверь, что ответ выражен в тех же единицах, что и величина в условии.

Как находить дробь числа и число по его дроби

Пользуйся таблицей как подсказкой: сначала определи, что известно в задаче, затем выбери нужную строку и выполни действия в указанном порядке. В записи следи, чтобы сначала выполнялось деление на нужное число равных долей. После вычисления обязательно сравни ответ с исходной величиной и проверь его смысл.

Разбор задач

Найди 3/5 от 20

Здесь целое равно 20, а нужно найти его часть — три пятых. Сначала выясним, чему равна одна пятая: для этого разделим 20 на 5. Затем возьмём три такие части. Поскольку дробь правильная, ответ должен быть меньше 20.

1. Найдём одну пятую: 20 : 5 = 4. Это размер одной из пяти равных частей числа 20.
2. Найдём три пятых: 4 · 3 = 12. Мы взяли три части по 4.
3. Проверим: 12 меньше 20, значит, результат подходит для части целого. Ответ: 12.

Число 18 составляет 3/5 некоторого числа. Найди это число.

Теперь известно не целое, а его часть: три пятых равны 18. Значит, 18 — это три одинаковые доли, и сначала нужно узнать размер одной доли. Для этого разделим 18 на 3. Чтобы восстановить целое, состоящее из пяти таких долей, умножим результат на 5.

1. Найдём одну пятую: 18 : 3 = 6. Три известные доли вместе равны 18, поэтому делим именно на 3.
2. Найдём пять пятых, то есть всё число: 6 · 5 = 30. Умножение показывает, сколько составляют пять равных долей.
3. Проверим: 30 : 5 · 3 = 18, то есть три пятых от найденного числа действительно равны 18. Ответ: 30.

В книге 120 страниц. Ученик прочитал 2/5 книги, а на следующий день — ещё 1/3 от оставшихся страниц. Сколько страниц ему осталось прочитать?

В этой задаче две части относятся к разным величинам: сначала к целой книге, затем к остатку. Поэтому нельзя считать обе дроби от 120 страниц. Сначала узнаем, сколько ученик прочитал в первый день, и найдём остаток. После этого возьмём треть от нового остатка и вычтем её.

1. В первый день ученик прочитал 120 : 5 · 2 = 48 страниц. Сначала нашли одну пятую книги, затем взяли две такие части.
2. После первого дня осталось 120 − 48 = 72 страницы. Это новая величина, от которой считается дробь второго дня.
3. Во второй день ученик прочитал 72 : 3 · 1 = 24 страницы. Здесь одна треть берётся от 72, а не от первоначальных 120 страниц.
4. После второго дня осталось 72 − 24 = 48 страниц. Ответ: 48 страниц.

Типичные ошибки

При нахождении дроби числа иногда умножают на знаменатель вместо деления. Так происходит, если забыть, что знаменатель показывает количество равных частей, а не число частей, которые нужно взять. Проверь себя на простой доле: одна пятая числа 20 равна 20 : 5 = 4, а не 20 · 5. Если искомая часть при правильной дроби оказалась больше целого, проверь порядок действий.

При нахождении числа по его дроби иногда сразу умножают известное значение на числитель. Но числитель показывает, сколько долей уже содержится в известной части, поэтому сначала нужно разделить на него. Например, если три доли равны 18, одна доля равна 18 : 3. Для проверки подставь найденное число обратно: вычисли от него указанную дробь и сравни с известным значением.

Ещё одна ошибка — перепутать, что делить, а что умножать. Её допускают, когда начинают считать, не выяснив, дано целое или его часть. Перед решением сформулируй: «Известно целое, ищу часть» или «Известна часть, ищу целое». Затем сверь свои действия с соответствующей строкой таблицы и проверь единицы измерения.

В задаче с несколькими действиями можно по ошибке найти дробь от первоначального числа, хотя в условии говорится об остатке. Это случается, если не отметить, к какой величине относится каждая дробь. После первого действия запиши новый остаток и используй его для следующего вычисления. Проверь результат словами условия: дробь второго дня должна относиться именно к страницам, которые ещё не прочитаны.

Связь с другими темами

Для работы с обыкновенными дробями нужны умения делить и умножать натуральные числа, а также понимание числителя и знаменателя. Нахождение дроби числа встречается в задачах о частях величин, измерениях, покупках и движении: например, так можно узнать часть пути или стоимость покупки. Те же действия пригодятся при изучении десятичных и других дробей. Умение различать целое и его часть помогает выбирать правильное решение в более сложных задачах.

Что запомнить

• Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое.
• Чтобы найти одну долю, целое делят на знаменатель.
• Чтобы найти дробь числа, результат деления умножают на числитель.
• Чтобы найти число по его дроби, известное значение делят на числитель и умножают на знаменатель.
• Перед вычислением выясни, известно ли целое или его часть.
• Проверяй ответ по смыслу задачи и единицам измерения.