Тема 25. Умножение и деление обыкновенных дробей

Определения и обозначения

Обыкновенная дробь записывает несколько равных долей целого. Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделили целое, а числитель — сколько таких долей взяли. Например, в дроби 3/5 целое разделили на пять долей и взяли три. Это помогает точно описывать части предметов и величин.

Произведение дробей — результат умножения одной дроби на другую. Чтобы его найти, перемножают числители и отдельно перемножают знаменатели: a/b · c/d = ac/bd. Например, 2/3 · 3/5 = 6/15 = 2/5. Это правило нужно, когда требуется найти часть от уже имеющейся части.

Обратные дроби получаются, если в дроби поменять местами числитель и знаменатель. Например, 2/5 и 5/2 — взаимно обратные дроби, потому что их произведение равно 1. Такое понятие нужно для деления: умножение на обратную дробь позволяет выполнить деление на дробь. Числитель исходной дроби не должен быть равен нулю.

Частное дробей — результат деления одной дроби на другую. Деление на дробь заменяют умножением на дробь, обратную делителю: a/b : c/d = a/b · d/c. Например, 2/3 : 4/5 = 2/3 · 5/4. Это правило превращает деление в знакомое умножение, если делитель не равен нулю.

Как это устроено

Представим прямоугольник, разделённый на три равные полосы, и возьмём одну из них: это 1/3 целого. Теперь выделим половину этой полосы. Чтобы разделить её пополам, каждую из трёх долей нужно разделить ещё на две равные части, и всего получится 3 · 2 = 6 частей. Мы взяли одну такую часть, поэтому половина от 1/3 равна 1/6; так становится понятным, почему при умножении перемножают знаменатели. Если взять, например, 2/3 от 3/5, то число выбранных маленьких частей тоже получается умножением числителей.

Умножение дроби на натуральное число подчиняется тому же правилу, если записать натуральное число дробью со знаменателем 1. Например, 2/5 · 3 = 2/5 · 3/1 = 6/5. Знаменатель не меняется, потому что умножение на 3 означает взять три одинаковые части по 2/5. Такая запись позволяет применять одно правило и к дроби, и к натуральному числу.

Перед умножением полезно посмотреть, нет ли общего множителя у числителя одной дроби и знаменателя другой. Например, в 5/6 · 9/10 числа 5 и 10 делятся на 5, а 9 и 6 — на 3. После сокращения получается 1/2 · 3/2, и считать легче, чем перемножать большие числа 5 · 9 и 6 · 10. Значение выражения не меняется: мы делим один множитель числителя и один множитель знаменателя на одно и то же число.

Чтобы понять деление, можно спросить: какое число при умножении на делитель даст делимое? Например, для 2/3 : 4/5 нужно найти число, которое при умножении на 4/5 даст 2/3. Умножение 4/5 на обратную дробь 5/4 даёт 1, поэтому обратная дробь отменяет действие делителя. Значит, 2/3 : 4/5 = 2/3 · 5/4; это объясняет правило, а не просто заменяет его запоминанием.

При делении сначала определите, какое число делимое, а какое — делитель: делимое стоит до знака деления, делитель — после него. Затем оставьте делимое как есть и замените только делитель обратной дробью. После этого перемножьте числители и знаменатели, а результат сократите, если это возможно. Такой порядок защищает от ошибки, когда переворачивают не ту дробь или сразу обе.

Умножение и деление обыкновенных дробей

Сначала выберите в таблице нужное действие и найдите его правило. Перед умножением проверьте, можно ли сократить общие множители, а при делении сначала правильно определите делитель. Затем выполните вычисления и проверьте, можно ли сократить ответ.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 2/7 · 3/5. Здесь обе дроби перемножаются, поэтому числители нужно умножить друг на друга, а знаменатели — друг на друга. До вычисления проверим, есть ли общие множители у числителей и знаменателей. Общих множителей для сокращения нет.

1. Умножаем числители: 2 · 3 = 6. Это число долей, которые получатся в результате.
2. Умножаем знаменатели: 7 · 5 = 35. Значит, произведение равно 6/35.
3. Проверяем сокращение: у 6 и 35 нет общего делителя, кроме 1. Поэтому результат уже записан в несократимом виде.

Ответ: 6/35. Получилась правильная дробь, потому что числитель меньше знаменателя. При проверке можно убедиться, что мы умножили обе пары чисел, а не сложили знаменатели. Сокращать готовый результат здесь не нужно.

Задача 2. Вычислите 5/6 · 9/10. Можно сразу перемножить все числа, но тогда появятся числа 45 и 60. Чтобы упростить вычисление, сначала найдём общие множители в числителях и знаменателях. Сокращать будем числа, стоящие в разных дробях, потому что они входят в произведение.

1. Сокращаем 5 и 10 на 5: вместо них остаются 1 и 2. Это допустимо, потому что оба числа являются множителями.
2. Сокращаем 9 и 6 на 3: остаются 3 и 2. Теперь выражение равно 1/2 · 3/2.
3. Перемножаем: числители дают 1 · 3 = 3, знаменатели — 2 · 2 = 4. Получаем 3/4, и эту дробь сократить нельзя.

Ответ: 3/4. При прямом вычислении вышло бы 45/60, а после сокращения получилось бы то же самое. Предварительное сокращение уменьшило числа и сделало вычисления проще. Если результат совпал, правило применено верно.

Задача 3. Из 3/4 кг муки израсходовали 2/3. Сколько килограммов муки израсходовали? Слова «израсходовали 2/3» означают, что нужно найти две трети от имеющегося количества муки. Найти часть от величины — значит умножить величину на дробь, которая показывает эту часть. Поэтому составляем выражение 3/4 · 2/3.

1. Сокращаем 3 в числителе первой дроби и 3 в знаменателе второй. Оба числа делятся на 3, поэтому вместо них остаются единицы.
2. Умножаем оставшиеся числители: 1 · 2 = 2. Умножаем знаменатели: 4 · 1 = 4.
3. Получаем 2/4 кг и сокращаем эту дробь на 2. Выходит 1/2 кг, то есть половина килограмма.

Ответ: израсходовали 1/2 кг муки. Проверим смысл: две трети от трёх четвертей должны быть меньше трёх четвертей, и половина килограмма меньше 3/4 кг. Это согласуется с условием. Если бы результат оказался больше исходного количества, стоит проверить вычисление и смысл выбранного действия.

Типичные ошибки

Иногда при умножении числители перемножают, а знаменатели складывают. Так происходит потому, что правило сложения дробей запоминается и ошибочно переносится на другое действие. При умножении перемножают обе пары чисел: например, 2/3 · 1/4 = 2/12, а не 2/7. Проверить себя можно по записи правила перед вычислением.

При делении некоторые переворачивают делимое — дробь, которая стоит первой. Путают её с делителем, потому что не всегда сначала определяют, на какое число делят. Нужно оставить делимое неизменным и обратить именно делитель: 2/3 : 4/5 = 2/3 · 5/4. Для проверки назовите дроби словами до того, как менять запись.

Другая ошибка — перевернуть обе дроби при делении. Обычно это происходит из-за запоминания фразы про обратные дроби без понимания, к какой дроби она относится. Обратной делают только делитель, а делимое переписывают без изменений. Сравните полученную запись с правилом: перед знаком умножения первая дробь должна совпадать с исходным делимым.

Нельзя сокращать числа, которые просто стоят рядом, но не являются множителями, например слагаемые в сумме. Ошибка появляется, когда слово «сократить» понимают как разрешение уменьшить любые числа в выражении. Сокращают только общий множитель числителя и знаменателя, деля оба на одно и то же число. Проверка простая: разложите выражение на множители и убедитесь, что сокращаемые числа входят в произведение.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о числителе и знаменателе, сокращении дробей и умножении натуральных чисел. Если эти действия знакомы, можно понять, какие числа перемножать и как упростить результат. Новые правила пригодятся в вычислениях с обыкновенными дробями и в текстовых задачах, где нужно найти часть от величины или разделить её на доли. Позже умножение и деление дробей помогут изучать действия с рациональными числами.

Что запомнить

• При умножении дробей числители умножают на числители, знаменатели — на знаменатели.
• Сокращать дроби можно до умножения или после него.
• Дробь со знаменателем 1 записывает натуральное число.
• Деление на дробь заменяют умножением на обратную ей дробь.
• При делении обратной делают только дробь-делитель.
• Делить на ноль нельзя.